Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm giá trị lớn nhất của
$\frac{a^3}{3a-ab-ac+2bc}+\frac{b^3}{3b-ab-bc+2ac}+\frac{c^3}{3c-ca-cb+2ab}+3abc$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 08-05-2021 - 07:01
Tìm min $\frac{a^3}{3a-ab-ac+2bc}+\frac{b^3}{3b-ab-bc+2ac}+\frac{c^3}{3c-ca-cb+2ab}+3abc$
Bắt đầu bởi Master Of Inequality, 01-05-2021 - 01:31
#2
Đã gửi 07-05-2021 - 20:52
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho các số thực dương $a,b,c$
Tìm giá trị lớn nhất của
$\frac{a^3}{3a-ab-ac+2bc}+\frac{b^3}{3b-ab-bc+2ac}+\frac{c^3}{3c-ca-cb+2ab}+3abc$
Mình nghĩ phải có thêm điều kiện $a+b+c=3$? 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 08-05-2021 - 07:02
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#4
Đã gửi 08-05-2021 - 07:04
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm giá trị lớn nhất của
$\frac{a^3}{3a-ab-ac+2bc}+\frac{b^3}{3b-ab-bc+2ac}+\frac{c^3}{3c-ca-cb+2ab}+3abc$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: $\frac{a^3}{3a-ab-ac+2bc}+\frac{b^3}{3b-ab-bc+2ac}+\frac{c^3}{3c-ca-cb+2ab}+3abc=\frac{a^3}{(a+b+c)a-ab-ac+2bc}+\frac{b^3}{(a+b+c)b-ab-bc+2ac}+\frac{c^3}{(a+b+c)c-ca-cb+2ab}+3abc=\frac{a^3}{a^2+2bc}+\frac{b^3}{b^2+2ca}+\frac{c^3}{c^2+2ab}+3abc=(a-\frac{2abc}{a^2+2bc})+(b-\frac{2abc}{b^2+2ca})+(c-\frac{2abc}{c^2+2ab})+3abc=3+abc[3-2(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab})]\leqslant 3+\frac{(a+b+c)^3}{27}.[3-2.\frac{9}{(a+b+c)^2}]=4$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
3 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh
