Đến nội dung

Hình ảnh

chứng minh $\sum [x(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz})]$ $\geq \frac{9}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Master Of Inequality

Master Of Inequality

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Cho các số thực dương x,y,z

chứng minh

$\sum [x(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz})]$ $\geq \frac{9}{2}$



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho các số thực dương x,y,z

chứng minh

$\sum [x(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz})]$ $\geq \frac{9}{2}$

$\sum [x(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz})]=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}$

Đặt $t=\sqrt[3]{xyz}>0$ thì ta cần chứng minh: $\frac{3t^2}{2}+\frac{3}{t}\geqslant \frac{9}{2}$

Bất đẳng thức này đúng do nó tương đương: $\frac{3(t-1)^2(t+2)}{2t}\geqslant 0$ (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 01-05-2021 - 19:34

  • DBS yêu thích

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3
Master Of Inequality

Master Of Inequality

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

$\sum [x(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz})]=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}$

Đặt $t=\sqrt[3]{xyz}>0$ thì ta cần chứng minh: $\frac{3t^2}{2}+\frac{3}{t}\geqslant \frac{9}{2}$

Bất đẳng thức này đúng do nó tương đương: $\frac{3(t-1)^2(t+2)}{2t}\geqslant 0$ (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

$VT=\frac{(m^2 + n^2 + p^2)(mnp + 1 + 1)}{2mnp}\geq \dfrac{3\sqrt[3]{m^2n^2p^2} . 3\sqrt[3]{mnp . 1 . 1}}{2mnp} = \dfrac{9mnp}{2mnp}=\frac{9}{2}$



#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$VT=\frac{(m^2 + n^2 + p^2)(mnp + 1 + 1)}{2mnp}\geq \dfrac{3\sqrt[3]{m^2n^2p^2} . 3\sqrt[3]{mnp . 1 . 1}}{2mnp} = \dfrac{9mnp}{2mnp}=\frac{9}{2}$

Where is $m,n,p$? :(


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#5
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Where is $m,n,p$? :(

Hình như bạn ấy copy từ AOPS sang, chưa kịp sửa :)



#6
Master Of Inequality

Master Of Inequality

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Hình như bạn ấy copy từ AOPS sang, chưa kịp sửa :)

$m,n,p;a,b,c;x,y,z$ cũng như nhau thôi, mà AOPS là cái j ạ



#7
Master Of Inequality

Master Of Inequality

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Hình như bạn ấy copy từ AOPS sang,  

@chưa kịp sửa :)

$23:23. 1/5/2021\rightarrow 16:06.2/5/2021$ là $16$ giờ $43$ phút ạ  :icon1:



#8
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

@chưa kịp sửa :)

$23:23. 1/5/2021\rightarrow 16:06.2/5/2021$ là $16$ giờ $43$ phút ạ  :icon1:

Mình nhầm lẫn, xin lỗi bạn nhé :) Tại mình từng đọc 1 bài giống thế trên AOPS. Trang này rất nổi tiếng đấy :)






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh