Cho hai số thực $a,b$ và hàm số
\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
a{x^2} + bx + 1{\text{ khi }}x \le 2\\
\dfrac{{{x^2} - 2x + a + 2 - x\sqrt {x - 1} }}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{\text{ khi }}x > 2
\end{array} \right.\]
Tính tổng $T=a+b$ biết rằng hàm số đã cho liên tục trên tập xác định của nó.
$f(x)$ liên tục tại $x=2\Rightarrow \lim_{x\to 2^+}f(x)$ phải tồn tại $\Rightarrow a=0$.
$\Rightarrow \lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}\frac{x^2-2x+2-x\sqrt{x-1}}{(x-2)^2}=\lim_{x\to 2^+}\frac{(x^2-4x+4)-[x\sqrt{x-1}-(2x-2)]}{(x-2)^2}$
$=1-\lim_{x\to 2^+}\frac{\sqrt{x-1}(x-2\sqrt{x-1})}{(x-2)^2}=1-\lim_{x\to 2^+}\frac{\sqrt{x-1}}{x+2\sqrt{x-1}}=\frac{3}{4}$
$\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^+}f(x)\Rightarrow 4a+2b+1=2b+1=\frac{3}{4}\Rightarrow b=-\frac{1}{8}$.
Vậy $T=a+b=-\frac{1}{8}$.