$\boxed{4}$Kỹ thuật dồn biến (Một bài dồn biến theo mình là cực hay)
Bài 42: Cho $a,b,c$ không âm. Chứng minh rằng: $a^3+b^3+c^3+9abc+4(a+b+c)\geqslant 8(ab+bc+ca)$
Cách dồn biến:
Đặt $$f(a,b,c)=a^{3}+b^{3}+c^{3}+9abc+4(a+b+c)-8(bc+ca+ab).$$
Ta có: $$\left[f(a,b,c)-f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})\right][f(a,b,c)-f(a,b+c,0)]=-\frac{bc(b-c)^{2}(9a-3b-3c-8)^{2}}{4}\leq 0.$$
Do đó một trong hai thừa số phải không âm, tức là ta cần kiểm tra BĐT trong trường hợp có hai biến bằng nhau hoặc có một biến bằng 0.
Trường hợp 1: Hai biến bằng nhau.
Ta có $$f(a,t,t)=a^{3}+(9t^{2}-16t+4)a+2t(2-t)^{2}.$$
Rõ ràng ta chỉ cần xét trường hợp $9t^{2}-16t+4<0$, tức là $$\frac{8-2\sqrt{7}}{9}\leq t\leq \frac{8+2\sqrt{7}}{9}<2.$$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta chỉ cần chứng minh
$$27t^{2}(2-t)^{4}+(9t^{2}-16t+4)^{3}\geq 0,$$
hay $$4(189t^{4}-648t^{3}+648t^{2}-160t+16)(t-1)^{2}\geq 0.$$
Với $t\leq 1$, BĐT là hiển nhiên. Xét $t>1$.
Áp dụng BĐT AM-GM có:
$$VT\geq 108\sqrt{42}t^{3}-160t+16>108\sqrt{42}t^{2}-160t+16\geq (48\sqrt[4]{378}-160)t>0.$$
Trường hợp 2: Có một biến bằng 0.
Ta có $$f(a,t,0)=a^{3}-4(2t-1)a+t(t^{2}+4).$$
Ta cũng dùng BĐT AM-GM để khử $a$ rồi chứng minh BĐT một biến giống trường hợp trên.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=0,b=c=2$ và các hoán vị tương ứng. $\square$
PS: Có cách khác không sử dụng dồn biến rất gọn và đẹp.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 18-04-2021 - 00:10