Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 1$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}} \geqslant 3\sqrt[6]{abc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viscolt0801: 04-05-2021 - 09:47
Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 1$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}} \geqslant 3\sqrt[6]{abc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viscolt0801: 04-05-2021 - 09:47
I hate Mathematics !!!
Từ giả thiết suy ra $ab+bc+ca\geqslant abc\Rightarrow ab\leqslant \frac{ab+bc+ca}{c}$
$\Rightarrow \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}\geqslant \frac{a+b}{\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{c}+c}}=\frac{(a+b)\sqrt{c}}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geqslant \frac{(a+b)\sqrt{c}}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}+\frac{(b+c)\sqrt{a}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{(c+a)\sqrt{b}}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}\geqslant 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}= 3\sqrt[6]{abc}(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh