Đến nội dung

Hình ảnh

tìm n là số nguyên dương sao cho $n^2+3^n$ là số chính phương

số chính phương số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nguyentrongvanviet

nguyentrongvanviet

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

tìm n là số nguyên dương sao cho $n^2+3^n$ là số chính phương 



#2
trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 551 Bài viết

tìm n là số nguyên dương sao cho $n^2+3^n$ là số chính phương 

giả sử $m$ nguyên dương thoả mãn $n^2+3^n=m^2$ $\Rightarrow (m-n)(m+n)=3^n$ khi đó tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $m-n=3^k$ và $m+n=3^{n-k}$

Vì $m+n>m-n$ nên $k<n-k$. Do đó $n-2k\geq 1$

- Nếu $n-2k=1$ thì $2n=(m+n)-(m-n)=3^{n-k}-3^k=3^k(3^{n-2k}-1)=2.3^k$

Vậy $n=2k+1=3^k$

Mà $3^k=(1+2)^k=1+2k+...+2^k>2k+1$ nên suy ra $k=0,1$

do đó $n=1$ $n=3$

- Nếu $n-2k>1$ thì $k\leq n-k-2\Rightarrow 3^k\leq 3^{n-k-2}$

$\Rightarrow 2n=3^{n-k}-3^k\geq 3^{n-k}-3^{n-k-2}=3^{n-k-2}(3^2-1)$

$=8.3^{n-k-2}\geq 8(1+2(n-k-2))=16n-16k-24$

$\Rightarrow8k+12\geq 7(2k+2)=14k+14$ (vô lí)

Vậy $n=1$, $n=3$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số chính phương, số học

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh