Chủ đề này có 6 trả lời

[QUANVU]

Tìm tất cả các số nguyên dương http://dientuvietnam...mimetex.cgi?m,n sao cho cả hai http://dientuvietnam...cgi?3^m 1,3^n 1 chia hết cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?mn.

Nhìn lại các bài toán của Korea 2005

[QUANVU]

Nếu (m,n) là cặp thỏa mãn thì m|3^n+1 và n|3^m+1,vậy liệu có thể áp dụng suy luận dưới đây?

26th IMO 1985 shortlist



Problem 18

a, b, c, ... , k are positive integers such that a divides 2b - 1, b divides 2c - 1, ... , k divides 2a - 1. Show that a = b = c = ... = k = 1.



Solution


Suppose a prime p divides 2b - 1. Then 2b = 1 mod p and (by Fermat's theorem) 2p-1 = 1 mod p. Hence if d is the greatest common divisor of b and p-1, then 2d = 1 mod p. Evidently d > 1 (since 2 is not 1 mod p). Since d divides p-1, we have d < p. But d divides b, so there is a prime q smaller than p which divides b.

But if b > 1, then we may take p to be the smallest prime which divides 2b - 1. Then we find q < p which divides b and hence 2c - 1. Continuing in this way we find a prime strictly smaller than p which divides 2b - 1. Contradiction. So b must be 1. Similarly for the other integers.

[vietnamesegauss89]

Nếu (m,n) là cặp thỏa mãn thì m|3^n+1 và n|3^m+1,vậy liệu có thể áp dụng suy luận dưới đây?

26th IMO 1985 shortlist



Problem 18

a, b, c, ... , k are positive integers such that a divides 2b - 1, b divides 2c - 1, ... , k divides 2a - 1. Show that a = b = c = ... = k = 1.



Solution


Suppose a prime p divides 2b - 1. Then 2b = 1 mod p and (by Fermat's theorem) 2p-1 = 1 mod p. Hence if d is the greatest common divisor of b and p-1, then 2d = 1 mod p. Evidently d > 1 (since 2 is not 1 mod p). Since d divides p-1, we have d < p. But d divides b, so there is a prime q smaller than p which divides b.

But if b > 1, then we may take p to be the smallest prime which divides 2b - 1. Then we find q < p which divides b and hence 2c - 1. Continuing in this way we find a prime strictly smaller than p which divides 2b - 1. Contradiction. So b must be 1. Similarly for the other integers.

Em có các khác:
Bổ đề:nếu thì
Áp dụng ta được:nếu m,n>1 thì m,n đều chẵn nên (vô lý vì m chẵn)
Giả sử m=1 thì \Rightarrow n=1,2,4

[tanlsth]

Cái bài mà anh nói là
Cho thỏa mãn
Cmr
Bài này thì ta cũng dùng một cái bổ đề về chia hết
Từ đó ta giải ra

[QUANVU]

Cái bổ đề mà vietnamesegauss89 nói khi c/m nó chẳng phải dùng bậc là gì?Nó cũng na ná như cái bài anh quote trên kia.Còn tanlsth giải bài quote trên kia dùng bổ đề mà em nói như thế nào? ,anh nghĩ nó cũng ko khác bài anh quote trên kia mấy.

[tanlsth]

Bài đó em giải là gọi là ước số nguyên tố nhỏ nhất của
Khi đó em thay vào rồi suy ra mâu thuẫn

[dotunglam]

moi nguoi oi sao may bo de chang xem duoc