Chủ đề này có 2 trả lời

[KietLW9]

$\boxed{problem3}$Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{C}$ tù, $\widehat{A}=2\widehat{B}$, $M$ là trung điểm của AB. Đường thằng vuông góc với $BC$ tại $B$ cắt $AC$ tại $D$. $E$ là điểm đối xứng với $C$ qua $AB$. Chứng minh rằng ba điểm $D,M,E$ thẳng hàng

[Hoang72]

$\boxed{problem3}$Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{C}$ tù, $\widehat{A}=2\widehat{B}$, $M$ là trung điểm của AB. Đường thằng vuông góc với $BC$ tại $B$ cắt $AC$ tại $D$. $E$ là điểm đối xứng với $C$ qua $AB$. Chứng minh rằng ba điểm $D,M,E$ thẳng hàng

Screenshot (1329).png

Dựng hình bình hành AE'BE. CE' cắt BD tại G.

Dễ thấy tứ giác ACE'B là hình thang và E'B = E'C mà tam giác BGC vuông tại B nên E' là trung điểm của CG.

Từ đó D, E', M thẳng hàng nên D, E, M thẳng hàng. 

[KietLW9]

$\boxed{problem3}$Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{C}$ tù, $\widehat{A}=2\widehat{B}$, $M$ là trung điểm của AB. Đường thằng vuông góc với $BC$ tại $B$ cắt $AC$ tại $D$. $E$ là điểm đối xứng với $C$ qua $AB$. Chứng minh rằng ba điểm $D,M,E$ thẳng hàng

Screenshot (1329).png

Qua $C$ vẽ đường thẳng song song với AB cắt DE, BD lần lượt tại I,K

Do $M$ là trung điểm của $AB$ và $CK//AB$ nên $CI=IK$

$\Delta BKC$ vuông tại $B$ có $BI$ là trung tuyến nên $BI = IC$ $\Rightarrow \widehat{IBC}=\widehat{ICB}$ mà $\widehat{ICB}=\widehat{CBA}(slt)$ nên $\widehat{IBC}=\widehat{CBA}\Rightarrow \widehat{IBA}=2\widehat{ABC}$ mà $\widehat{BAC}=2\widehat{ABC}$ nên $\widehat{IBA}=\widehat{CAB}$

Suy ra ACIB là hình thang cân nên $BI=AC=AE$ và $IA=BC=BE$. Vậy $BEAI$ là hình bình hành nên $EI$ đi qua trung điểm $M$ của $AB$ $\Rightarrow Q.E.D$