$\textrm{Cho } x,y,z \textrm{ thỏa mãn } x+y+z=0;x+1>0;y+1>0 \textrm{ và } z+4>0.$
$\textrm{Tìm GTLN của } A=\dfrac{xy-1}{(x+1)(y+1)}+\dfrac{z}{z+4}$
$\textrm{Cho } x,y,z \textrm{ thỏa mãn } x+y+z=0;x+1>0;y+1>0 \textrm{ và } z+4>0.$
Bắt đầu bởi hltkhang, 10-05-2021 - 20:52
#2
Đã gửi 10-05-2021 - 21:04
DBS
-
- Thành viên
-
- 167 Bài viết
Trung sĩ
Đổi biến: $(x+1;y+1;z+4) \rightarrow (a;b;c) \Rightarrow a+b+c=6$
Ta có: $A=\frac{(a-1)(b-1)}{ab}+\frac{c-4}{c}=\frac{ab-a-b+1}{ab}+\frac{c-4}{c}=2-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c})\leq 2-(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c})\leq 2-(\frac{16}{a+b+c})=-\frac{2}{3}$
$\Rightarrow MaxA=-\frac{2}{3}$ khi $\left\{\begin{matrix} a=b=\frac{3}{2} & \\ c=3 & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=\frac{1}{2} & \\ z=-1 & \end{matrix}\right.$
- hltkhang yêu thích
#3
Đã gửi 10-05-2021 - 21:11
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
$\textrm{Cho } x,y,z \textrm{ thỏa mãn } x+y+z=0;x+1>0;y+1>0 \textrm{ và } z+4>0.$
$\textrm{Tìm GTLN của } A=\dfrac{xy-1}{(x+1)(y+1)}+\dfrac{z}{z+4}$
Đặt $x+1=a;y+1=b;z+4=c$ thì $a,b,c>0$ và $a+b+c=6$
Khi đó $A=\frac{(a-1)(b-1)-1}{ab}+\frac{c-4}{c}=\frac{ab-a-b}{ab}+\frac{c-4}{c}=2-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c})\leqslant 2-\frac{(1+1+2)^2}{a+b+c}=\frac{-2}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2};z=-1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 10-05-2021 - 21:12
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
