Chủ đề này có 1 trả lời

[SpiritCreator]

Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho: $\sqrt{3a+b}+\sqrt{a+3b}=4$; $\text{c=min{a,b,c}}$.

Chứng minh rằng: $(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{27}(c+2)^3$.

[Hoang72]

Nhận thấy $a+b\geq 2$.

Bất đẳng thức tương đương với:

$8c^3+48c^2+96c+64\geq 27(c^2(a+b)+c(a+b)^2+ab(a+b))$.

Nhận thấy $2(c-1)^2(4c+5)\geq 0\Leftrightarrow 8c^3\geq 6c^2+12c-10$.

Do đó ta chỉ còn cần chứng minh $c^2(a+b-2)+((a+b)^2-4)c+ab(a+b)-2\leq 0$.

Đặt $\frac{a+b}{2}=t(4(2-\sqrt{3})>t\geq 1)$ thì $c\leq t$.

Ta có $2(a+b)+\sqrt{(3a+b)(3b+a)}=8\Rightarrow ab=\frac{(8-4t)^2-12t^2}{4}=t^2-16t+16$.

Khi đó $A=c^2(a+b-2)+((a+b)^2-4)c+ab(a+b)-2\leq t^2(2t-2)+(4t^2-4)+2t(t^2-16t+16)-2=2(t-1)(2t^2-13t+3)$.

Lại có $1\leq t<4(2-\sqrt{3})\Rightarrow 2t^2-13t+3<0$

$\Rightarrow A\leq 0$.

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 05-02-2022 - 15:51