Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến (cách ngắn gọn nhất)

giá trị lớn-nhỏ nhất

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Luminor

Luminor

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết

Đã gửi 20-09-2019 - 21:44

Cho x,y >0 thỏa mãn x + y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2+$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}$



#2 Nguyenkhanhviet

Nguyenkhanhviet

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 20-09-2019 - 21:54

<=>x^2+y^2+1/4x^2+1/4y^2+3/4(1/x^2+1/y^2) đến đây là ok

#3 Luminor

Luminor

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết

Đã gửi 20-09-2019 - 22:24

<=>x^2+y^2+1/4x^2+1/4y^2+3/4(1/x^2+1/y^2) đến đây là ok

Bạn giải chi tiết ra đáp án đc ko ?



#4 ttlinhtinh

ttlinhtinh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết

Đã gửi 21-09-2019 - 09:38

Cho x,y >0 thỏa mãn x + y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2+$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}$

 

Biểu thức đã cho tương đương với

$P=x^2+y^2+\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{16y^2}+\frac{15}{16x^2}+\frac{15}{16y^2}$

Sử dụng BĐT Cauchy: $x^2+y^2+\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{16y^2}\geq 4\sqrt[4]{x^2y^2\frac{1}{16x^2}\frac{1}{16y^2}}=1$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Ta cũng có: $\frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}$

Nên $\frac{15}{16x^2}+\frac{15}{16y^2}=\frac{15}{16}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})\geq \frac{15}{16}\frac{2}{xy}\geq \frac{15}{16}\frac{8}{(x+y)^2}=\frac{15}{2}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Tóm lại: $P\geq 1+\frac{15}{2} = \frac{17}{2} $



#5 ttlinhtinh

ttlinhtinh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết

Đã gửi 21-09-2019 - 09:39

<=>x^2+y^2+1/4x^2+1/4y^2+3/4(1/x^2+1/y^2) đến đây là ok

 Nếu nhóm như vậy thì dấu "=" không xảy ra.



#6 toihoctoan

toihoctoan

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đã gửi 21-09-2019 - 13:37

Áp dụng bất đẳng thức: $a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2, ab\leq \frac{1}{4}(a+b)^2$:

$P=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\left ( x+\frac{1}{x} \right )^2+\left ( y+\frac{1}{y} \right )^2-4\\\geq \frac{1}{2}\left [ \left ( x+\frac{1}{x} \right )+\left ( y+\frac{1}{y} \right ) \right ]^2-4=\frac{1}{2}\left ( 1+\frac{1}{xy} \right )^2-4\\\geq \frac{1}{2}\left [ 1+\frac{1}{\frac{(x+y)^2}{4}} \right ]^2-4=\frac{17}{4}$

$MinP=\frac{17}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$.

 



#7 Nguyenkhanhviet

Nguyenkhanhviet

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 21-09-2019 - 22:19

Sorry mk làm lỗi




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh