Đến nội dung

Hình ảnh

tìm p là số nguyên tố để $p^2-p+1$ là lập phương của một số tự nhiên

số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nguyentrongvanviet

nguyentrongvanviet

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

tìm p là số nguyên tố để $p^2-p+1$ là lập phương của một số tự nhiên



#2
pkh2705

pkh2705

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Đặt $p^2-p+1=a^3(a\in \mathbb{N})$

$\Leftrightarrow (a-1)(a^2+a+1)=p(p-1)$

$\Rightarrow (a-1)(a^2+a+1)\vdots p$

- Nếu $a-1\vdots p\Rightarrow a-1\geq p\Rightarrow a^2+a+1> p$, suy ra $a^3-1> p^2$ (Mâu thuẫn)
- Nếu 
$a^2+a+1\vdots p$ $\Rightarrow a^2+a+1=pk(k\in \mathbb{N})$

Do đó $p(p-1)=kp(a-1)\Leftrightarrow p-1=k(a-1)\Leftrightarrow p=k(a-1)+1$

Thay vào đẳng thức đã cho được: 
$k(a-1)\left [ k(a-1)+1 \right ]=(a-1)(a^2+a+1)\Leftrightarrow a^2+a+1=k^2(a-1)+k\Leftrightarrow a^2-(k^2-1)a+k^2-k+1=0$
     Đến đây tính delta và tìm k sao cho delta là bình phương đúng là xong







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh