tìm p là số nguyên tố để $p^2-p+1$ là lập phương của một số tự nhiên
tìm p là số nguyên tố để $p^2-p+1$ là lập phương của một số tự nhiên
Bắt đầu bởi nguyentrongvanviet, 11-05-2021 - 09:25
số học
#2
Đã gửi 11-05-2021 - 10:18
Đặt $p^2-p+1=a^3(a\in \mathbb{N})$
$\Leftrightarrow (a-1)(a^2+a+1)=p(p-1)$
$\Rightarrow (a-1)(a^2+a+1)\vdots p$
- Nếu $a-1\vdots p\Rightarrow a-1\geq p\Rightarrow a^2+a+1> p$, suy ra $a^3-1> p^2$ (Mâu thuẫn)
- Nếu $a^2+a+1\vdots p$ $\Rightarrow a^2+a+1=pk(k\in \mathbb{N})$
Do đó $p(p-1)=kp(a-1)\Leftrightarrow p-1=k(a-1)\Leftrightarrow p=k(a-1)+1$
Thay vào đẳng thức đã cho được:
$k(a-1)\left [ k(a-1)+1 \right ]=(a-1)(a^2+a+1)\Leftrightarrow a^2+a+1=k^2(a-1)+k\Leftrightarrow a^2-(k^2-1)a+k^2-k+1=0$
Đến đây tính delta và tìm k sao cho delta là bình phương đúng là xong
- ChiMiwhh, nguyentrongvanviet và NguyenPhucTuNhu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh