$\text{Cho các số thực dương } x,y,z \text{ thoả mãn } xyz=1. \text{ Tìm GTLN của biểu thức: }$
$A=\frac{1}{x+2yz}+\frac{1}{y+2zx}+\frac{1}{z+2xy}$
$A=\frac{1}{x+2yz}+\frac{1}{y+2zx}+\frac{1}{z+2xy}$
Bắt đầu bởi DBS, 11-05-2021 - 15:58
#2
Đã gửi 11-05-2021 - 16:24
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Ta có $VT=\frac{x}{x^2+2xyz}+\frac{y}{y^2+2xyz}+\frac{z}{z^2+2xyz}=\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leqslant \frac{x}{2x+1}+\frac{y}{2y+1}+\frac{z}{2z+1}$
Mà dễ có: $1-(\frac{x}{2x+1}+\frac{y}{2y+1}+\frac{z}{2z+1})=\frac{x+y+z+1-4xyz}{(2x+1)(2y+1)(2z+1)}=\frac{x+y+z-3}{(2x+1)(2y+1)(2z+1)}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{xyz}-3}{(2x+1)(2y+1)(2z+1)}=0\Rightarrow 1\geqslant \frac{x}{2x+1}+\frac{y}{2y+1}+\frac{z}{2z+1}$
Vậy GTLN của biểu thức là 1 khi $x=y=z=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#3
Đã gửi 11-05-2021 - 16:31
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cách khác:
Đặt $(x,y,z)\rightarrow (\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})$ thì $2A=\frac{2ab}{a^2+2b^2}+\frac{2bc}{b^2+2c^2}+\frac{2ca}{c^2+2a^2}\leqslant \frac{2ab}{2ab+b^2}+\frac{2bc}{2bc+c^2}+\frac{2ca}{2ca+a^2}=(1-\frac{b^2}{2ab+b^2})+(1-\frac{c^2}{2bc+c^2})+(1-\frac{a^2}{2ca+a^2})\leqslant 3-\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=2\Rightarrow A\leqslant 1$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
- DBS và Mr handsome ugly thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
