Chủ đề này có 2 trả lời

[Baoriven]

Chứng minh rằng:

\[(n+1)^n\ge2^nn!,\forall n\in\mathbb{N}. \]

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 12-05-2021 - 10:36

[Nobodyv3]

Chứng minh rằng:
\[(n+1)^n\ge2^nn!,\forall n\in\mathbb{N}. \]

Ta có thể dùng PP qui nạp để giải bài này, tuy nhiên mình sẽ trình bày một cách tiếp cận khác:
Gọi số tự nhiên $k\leq n$ dễ thấy: $k\cdot\left ( n+1-k \right )> 0$
Đặt $k= \frac{n+1}{2} +\frac{2k-n-1}{2}$ và $n+1-k=\frac{n+1}{2} -\frac{2k-n-1}{2}$ thì:
$k\cdot\left ( n+1-k \right )= \left (\frac{n+1}{2} +\frac{2k-n-1}{2} \right )\cdot\left (\frac{n+1}{2} -\frac{2k-n-1}{2} \right )=\left (\frac{n+1}{2} \right )^{2} -\left (\frac{2k-n-1}{2} \right ) ^{2}\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
Cho $k$ chạy từ $1$ đến $\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$ ta có các bất đẳng thức :

$k=1\rightarrow 1\cdot n\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$k=2\rightarrow 2\cdot\left ( n-1 \right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$k=3\rightarrow 3\cdot\left ( n-2 \right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$\cdots\cdots$
$k=\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor-2\rightarrow\left ( \frac{n}{2} -2 \right )\cdot\left ( \frac{n}{2} +3\right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$k=\left \lfloor \frac{n}{2}\right \rfloor-1 \rightarrow\left ( \frac{n}{2} -1 \right )\cdot\left ( \frac{n}{2} +2 \right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$k=\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\rightarrow \frac{n}{2} \cdot\left ( \frac{n}{2} +1 \right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên:
$1\cdot2\cdot3\cdots\frac{n}{2}\cdot\left ( \frac{n}{2}+1 \right )\cdot\left ( \frac{n}{2}+2 \right )\cdots\left ( n-2 \right )\cdot\left ( n-1 \right )\cdot n\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{n}$ hay $\boxed{n!\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{n}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 12-05-2021 - 14:30

[Baoriven]

Có thể sử dụng $AM-GM$ để giải quyết  :

\[\frac{1+2+3+...+n}{n}\ge \sqrt[n]{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}\Leftrightarrow \frac{n(n+1)}{2n}\ge \sqrt[n]{n!}\Leftrightarrow {{(n+1)}^{n}}\ge {{2}^{n}}n!.\]