Chủ đề này có 2 trả lời

[hltkhang]

$\textrm{Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn } \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1.$

$\textrm{Tìm GTNN của } P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+c+2a^2}.$

[pkh2705]

Ta có :$\sum \sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sum \sqrt{\frac{5}{4}(a+b)^2+\frac{3}{4}(a-b)^2}\geq \sum \frac{\sqrt{5}}{2}(a+b)=\sqrt{5}.\sum a\geq \frac{\sqrt{5}}{3}(\sum \sqrt{a})^2=\frac{\sqrt{5}}{3}$

 

[hltkhang]

$\textrm{Áp dụng BĐT B.C.S, ta có:}$

$1=(1.\sqrt{a}+1.\sqrt{b}+1.\sqrt{c})^2 \le 3(a+b+c)$

$\Leftrightarrow a+b+c \ge \dfrac13$

$\textrm{Mặt khác: } \sqrt{2a^2+ab+b^2} \ge \dfrac{\sqrt{5}}{2} (a+b) (1)$

$\textrm{Thật vậy: } (1) \Leftrightarrow 2a^2+ab+b^2 \ge \dfrac{5}{2} (a+b)^2$

$\Leftrightarrow \dfrac34 a^2 - \dfrac32 ab + \dfrac34 b^2 \ge 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2 \ge 0 \textrm{ (luôn đúng)}$

$\textrm{Tương tự ta có: } \sqrt{2b^2+bc+c^2} \ge \dfrac{\sqrt{5}}{2} (b+c); \sqrt{2c^2+ca+a^2} \ge \dfrac{\sqrt{5}}{2} (c+a)$

$\textrm{Cộng vế theo vế:}$

$P \ge \sqrt{5} (a+b+c) \ge \dfrac{\sqrt{5}}{3}$

$\textrm{Dấu "=" xảy ra} \Leftrightarrow a=b=c=1$

$\textrm{Vậy ...}$