Chủ đề này có 2 trả lời

[KuroKod]

 

Hình gửi kèm

• 

[Arthur Pendragon]

Chứng minh $u_{n+1}=u_1.u_2.u_3....u_n\sqrt{5}-2.u_2.u_3......u_{n}-2.u_3.u_4......u_{n}-......-2u_n-2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 13-01-2020 - 00:52

[quocthai0974767675]

Với mọi n nguyên dương ta có:$u_{n+1}=u_n^2-2$$<=>u_{n+1}^2=(u_n^2-2)^2< = > u_{n+1}^2-4=u_n^2(u_n^2-4)=...=u_n^2u_{n-1}^2...u_1^2(u_1^2-4)=u_n^2u_{n-1}^2...u_1^2$

$=>$$\left ( \frac{u_{n+1}}{u_1u_2...u_n} \right )^2=\frac{4}{u_1^2u_2^2...u_n^2}+1$

Dùng quy nạp ta có: $2<u_1<u_2<....<u_n<....$

Suy ra:$x_1x_2...x_n>2^n$

Suy ra$0<\frac{4}{x_1x_2...x_n}<\frac{4}{2^n}= > lim\frac{4}{x_1x_2...x_n}=0 =>lim\frac{x_{n+1}^2}{x_1^2x_2^2...x_n^2}=1$

Mặt khác ta có:$\frac{1}{x_1x_2...x_n}=\frac{1}{2}(\frac{x_n}{x_1x_2...x_{n-1}}-\frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}) =>lim(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1x_2}+...+\frac{1}{x_1x_2...x_n})=lim\left ( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{2}(\frac{x_2}{x_1}-\frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}) \right )=\sqrt{5}-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocthai0974767675: 01-12-2020 - 18:10