Chứng minh rằng : $\tan 50^0 ( \tan 10^0 + \tan 60^0) + \tan 10^0 (\tan 10^0 - \tan 60^0) = 2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 14-05-2021 - 13:42
LaTeX
Chứng minh rằng : $\tan 50^0 ( \tan 10^0 + \tan 60^0) + \tan 10^0 (\tan 10^0 - \tan 60^0) = 2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 14-05-2021 - 13:42
LaTeX
Ta có $2$ công thức lượng giác quen thuộc sau: $\tan (a\pm b)=\dfrac{\tan a\pm \tan b}{1\mp \tan a\tan b}$
$\sqrt{3}=\tan 60^{\circ}=\dfrac{2\tan 30^{\circ}}{1-\left(\tan 30^{\circ}\right)^{2}} \Rightarrow \tan 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ (do $\tan 30^{\circ}>0$)
VT $=\tan 10^{\circ}\left(\tan 50^{\circ}+\tan 10^{\circ}\right)+\sqrt{3}\left(\tan 50^{\circ}-\tan 10^{\circ}\right)$
Mà $\tan 50^{\circ}+\tan 10^{\circ}=\sqrt{3}\left(1-\tan 50^{\circ}\tan 10^{\circ}\right)$
$\Rightarrow$ VT $=\sqrt{3}\left[\tan 10^{\circ}\left(1-\tan 50^{\circ}\tan 10^{\circ}\right)+\tan 50^{\circ}-\tan 10^{\circ}\right]=\sqrt{3}\tan 50^{\circ}\left[1-\left(\tan 10^{\circ}\right)^{2}\right]$
Lại có: $\tan 50^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}-\tan 10^{\circ}}{1+\sqrt{3}\tan 10^{\circ}} \Rightarrow$ VT $=\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-x\right)(1-x^{2})}{1+\sqrt{3}x}$ với $x=\tan 10^{\circ}$ ($0<x<1$)
Mặt khác: $\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\tan 30^{\circ}=\dfrac{\tan 10^{\circ}+\tan 20^{\circ}}{1-\tan 10^{\circ}\tan 20^{\circ}}=\dfrac{x+\dfrac{2x}{1-x^{2}}}{1-x.\dfrac{2x}{1-x^{2}}}=\dfrac{3x-x^{3}}{1-3x^{2}}$
$\Rightarrow \sqrt{3}x^{3}-3x^{2}-3\sqrt{3}x+1=0 \Rightarrow \sqrt{3}\left(\sqrt{3}-x\right)(1-x^{2})=2\left(1+\sqrt{3}x\right) \Rightarrow$ VT $=2$ (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 15-07-2021 - 20:42
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh