Chủ đề này có 1 trả lời

[salim]

Cho $\tan a = \frac{1}{2}\left( {a \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)} \right)$. Tính giá trị biểu thức

$P=\frac{2 \sin\frac{a}{2}+3 \cos\frac{a}{2}}{\sin\frac{a}{2}+2\cos\frac{a}{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 15-05-2021 - 20:22
LaTeX

[chanhquocnghiem]

Cho $\tan a = \frac{1}{2}\left( {a \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)} \right)$. Tính giá trị biểu thức

$P=\frac{2 \sin\frac{a}{2}+3 \cos\frac{a}{2}}{\sin\frac{a}{2}+2\cos\frac{a}{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\left\{\begin{matrix}\tan a=\frac{1}{2}\\a\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ) \end{matrix}\right.\Rightarrow \cos a=\frac{2}{\sqrt5}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+\frac{2}{\sqrt5}}{2}=\frac{10+4\sqrt5}{20}\\\sin^2\frac{a}{2}=\frac{1-\frac{2}{\sqrt5}}{2}=\frac{10-4\sqrt5}{20} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\cos\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt{5-\sqrt5}}{2\sqrt5}\\\sin\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{5+\sqrt5}-\sqrt{5-\sqrt5}}{2\sqrt5} \end{matrix}\right.$

$P=\frac{2 \sin\frac{a}{2}+3 \cos\frac{a}{2}}{\sin\frac{a}{2}+2\cos\frac{a}{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}=2-\frac{\cos\frac{a}{2}}{\sin\frac{a}{2}+2\cos\frac{a}{2}}+\frac{1}{\sqrt5}$

Mà $\frac{\cos\frac{a}{2}}{\sin\frac{a}{2}+2\cos\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt{5-\sqrt5}}{3\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt{5-\sqrt5}}=\frac{\left ( \sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt{5-\sqrt5} \right )\left ( 3\sqrt{5+\sqrt5}-\sqrt{5-\sqrt5} \right )}{40+10\sqrt5}$

$=\frac{15+3\sqrt5-2\sqrt5+6\sqrt5-5+\sqrt5}{40+10\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5}$

$\Rightarrow P=2$.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-05-2021 - 20:03