Đến nội dung

Hình ảnh

\[\sum {\frac{{{a^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} \ge \sum {\frac{a}{{b + c}}} } \]

bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
Cho $a, b, c$ là các số thực dương. CMR

$\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$



#2
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Biến đổi tương đương thì có BĐT tương đương :
$$\sum \dfrac{(a-b)^2\left [a^3+b^3+\left (ab+c^2\right )(a+b)+c\left (a^2+ab+b^2\right )+c^3\right ]}{\left (a^2+c^2\right )\left (b^2+c^2\right )(a+c)(b+c)} \ge 0$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3
Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
Bài toán: Cho $a,b,c\ge 0$. Chứng minh:

\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{b + c}}} \]

Lời giải:

Ta có:
\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{b + c}}} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} - \frac{a}{{b + c}}} \right)} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{{ab(a - b) - ca(c - a)}}{{({b^2} + {c^2})(b + c)}}} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{ab(a - b)}}{{({b^2} + {c^2})(b + c)}} - \frac{{ab(a - b)}}{{({c^2} + {a^2})(c + a)}}} \right)} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\left[ {ab(a - b)\left( {\frac{1}{{({b^2} + {c^2})(b + c)}} - \frac{1}{{({c^2} + {a^2})(c + a)}}} \right)} \right]} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\left[ {ab(a - b).\frac{{{c^3} + {a^3} + {c^2}a + c{a^2} - {b^3} - {c^3} - {b^2}c - b{c^2}}}{{({b^2} + {c^2})({c^2} + {a^2})(b + c)(c + a)}}} \right]} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\left[ {ab(a - b).\frac{{(a - b)({a^2} + ab + {b^2}) + {c^2}(a - b) + (a - b)(ca + cb)}}{{({b^2} + {c^2})({c^2} + {a^2})(b + c)(c + a)}}} \right]} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\left[ {ab{{(a - b)}^2}.\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca}}{{({b^2} + {c^2})({c^2} + {a^2})(b + c)(c + a)}}} \right]} \ge 0\]

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có ĐPCM.

Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = c\\\left\{ \begin{array}{l}a = b\\c = 0\end{array} \right. \text{ và các hoán vị}\end{array} \right.$

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho $a, b, c$ là các số thực dương. CMR

$\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

 

Đây là bài toán tổng quát: Cho $a,b,c>0$ và $r,s$ là các số thực dương sao cho $r\geqslant s$. Chứng minh: $\frac{a^r}{b^r+c^r}+\frac{b^r}{c^r+a^r}+\frac{c^r}{a^r+b^r}\geqslant \frac{a^s}{b^s+c^s}+\frac{b^s}{c^s+a^s}+\frac{c^s}{a^s+b^s}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh