$\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$
#1
Đã gửi 25-07-2012 - 17:03
#2
Đã gửi 25-07-2012 - 17:26
$$\sum \dfrac{(a-b)^2\left [a^3+b^3+\left (ab+c^2\right )(a+b)+c\left (a^2+ab+b^2\right )+c^3\right ]}{\left (a^2+c^2\right )\left (b^2+c^2\right )(a+c)(b+c)} \ge 0$$
- Cao Xuân Huy, BlackSelena, ducthinh26032011 và 1 người khác yêu thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#3
Đã gửi 25-07-2012 - 17:35
\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{b + c}}} \]
Lời giải:
Ta có:
\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{b + c}}} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} - \frac{a}{{b + c}}} \right)} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{{ab(a - b) - ca(c - a)}}{{({b^2} + {c^2})(b + c)}}} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{ab(a - b)}}{{({b^2} + {c^2})(b + c)}} - \frac{{ab(a - b)}}{{({c^2} + {a^2})(c + a)}}} \right)} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\left[ {ab(a - b)\left( {\frac{1}{{({b^2} + {c^2})(b + c)}} - \frac{1}{{({c^2} + {a^2})(c + a)}}} \right)} \right]} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\left[ {ab(a - b).\frac{{{c^3} + {a^3} + {c^2}a + c{a^2} - {b^3} - {c^3} - {b^2}c - b{c^2}}}{{({b^2} + {c^2})({c^2} + {a^2})(b + c)(c + a)}}} \right]} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\left[ {ab(a - b).\frac{{(a - b)({a^2} + ab + {b^2}) + {c^2}(a - b) + (a - b)(ca + cb)}}{{({b^2} + {c^2})({c^2} + {a^2})(b + c)(c + a)}}} \right]} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\left[ {ab{{(a - b)}^2}.\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca}}{{({b^2} + {c^2})({c^2} + {a^2})(b + c)(c + a)}}} \right]} \ge 0\]
Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = c\\\left\{ \begin{array}{l}a = b\\c = 0\end{array} \right. \text{ và các hoán vị}\end{array} \right.$
- Tham Lang và ducthinh26032011 thích
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#4
Đã gửi 24-04-2021 - 10:37
Cho $a, b, c$ là các số thực dương. CMR
$\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$
Đây là bài toán tổng quát: Cho $a,b,c>0$ và $r,s$ là các số thực dương sao cho $r\geqslant s$. Chứng minh: $\frac{a^r}{b^r+c^r}+\frac{b^r}{c^r+a^r}+\frac{c^r}{a^r+b^r}\geqslant \frac{a^s}{b^s+c^s}+\frac{b^s}{c^s+a^s}+\frac{c^s}{a^s+b^s}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$Bắt đầu bởi Leonguyen, 30-03-2023 bđt, cực trị, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2} \geq 3$Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 bđt |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh