Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyentrongvanviet]

Cho m,n là các số nguyên dương sao cho m,n nguyên tố cùng nhau và m−n là một số lẽ.

a) Chứng minh hai số m+3n và 5m+7n nguyên tố cùng nhau.

b) Chứng minh (m+3n)(5m+7n) không thể là một số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrongvanviet: 18-05-2021 - 12:50

[pkh2705]

 

Cho m,n là các số nguyên dương sao cho m,n nguyên tố cùng nhau và m−n là một số lẽ.

a) Chứng minh hai số m+3n và 5m+7n nguyên tố cùng nhau.

b) Chứng minh (m+3n)(5m+7n) không thể là một số chính phương.

 

a) Giả sử $m+3n$ và $5m+7n$ có ước nguyên tố chung là p
Dễ dàng suy ra được $8m\vdots p,8n\vdots p\Rightarrow p\in UC(8m,8n)\Rightarrow (8m,8n)\vdots p\Rightarrow 8(m,n)\vdots p\Rightarrow 8\vdots p$ (vì (m,n)=1)

Mà p là số nguyên tố nên $p=2$, do đó $m+3n\vdots 2\Rightarrow m+3n-4n\vdots 2\Rightarrow m-n\vdots 2$ (Mâu thuẫn)

[pkh2705]

b, Giả sử $(m+3n)(5m+7n)$ là số chính phương, từ phần a ta có $m+3n$ và $5m+7n$ nguyên tố cùng nhau nên $m+3n$ và $5m+7n$ đều là số chính phương
Đặt $m+3n=p^2$,$5m+7n=q^2$$(p,q\in \mathbb{N})$
Dễ thấy $p^2,q^2$ là các số chính phương lẻ nên $m+3n\equiv 5m+7n\equiv 1(mod8)$

$\Rightarrow 4(m+n)\vdots 8\Rightarrow m+n\vdots 2\Rightarrow m-n\vdots 2$ (mâu thuẫn)