Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tam giác Pascal và Nhị thức Newton


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1648 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 27-09-2019 - 17:03

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau học về một cấu trúc số nổi tiếng, đó là tam giác số Pascal.

Screenshot from 2019-09-27 16-59-32.png

 

Tam giác số này được xây dựng như sau.

  • Ở hàng đầu tiên, chúng ta viết một con số 1.
  • Ở hàng tiếp theo, chúng ta viết hai con số 1.
  • Tiếp tục các hàng tiếp theo,
    • con số đầu tiên và con số cuối cùng bao giờ cũng là 1;
    • còn mỗi con số ở bên trong thì bằng tổng của hai con số đứng ngay ở hàng phía trên.
Ví dụ như: $1 + 1 = 2$, $1 + 2 = 3$, $2 + 1 = 3$, $1 + 3 = 4$, $3 + 3 = 6$, $3 + 1 = 4$, v.v...
 

Screenshot from 2019-09-27 17-00-46.png
Chúng ta dùng tam giác số Pascal để khai triển các biểu thức $(x+y)^n$ và $(x-y)^n$ như hình sau đây.
 

Screenshot from 2019-09-27 17-00-53.png

Screenshot from 2019-09-27 17-01-01.png

 
 



Chúng ta đánh số mỗi hàng của tam giác Pascal theo thứ tự bắt đầu là hàng số 0, tiếp đến là hàng số 1, hàng số 2, v.v... Còn trên mỗi hàng, chúng ta sắp xếp thứ tự các con số bắt đầu là con số thứ 0, tiếp đến là con số thứ 1, rồi con số thứ 2, v.v...
 
Chúng ta sẽ gọi con số thứ $k$ ở hàng thứ $n$ là $p_{n,k}$. Từ đó suy ra công thức để xây dựng tam giác Pascal là $$p_{n-1,k-1} + p_{n-1,k} = p_{n,k}.$$
 
Screenshot from 2019-09-27 17-01-12.png
 




Công thức tổng quát của $p_{n,k}$ là như sau
$$p_{n,k} = {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$$

Ví dụ,
$$p_{5,2} = {5 \choose 2} = \frac{5!}{2! 3!} = \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5}{1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 3} = 10.$$


 
Cuối cùng, xin lưu ý rằng, thông thường thì chúng ta hay đánh số thứ tự từ số 1. Nhưng với tam giác Pascal thì chúng ta đánh số thứ tự khởi đầu từ số 0. Cách đánh số khởi đầu bằng số 0 này hơi đặc biệt. Do đó để giúp các bạn ghi nhớ cách đánh số này, tôi xin kể cho các bạn một câu chuyện vui về nhà toán học Sierpinski.
 
Waclaw Sierpinski là một nhà toán học nổi tiếng người Ba Lan. Người ta kể lại rằng ông là người khá lơ đãng. Một hôm, ông và vợ ông phải chuyển nhà. Hai ông bà mang đồ đạc xuống để bên vệ đường rồi bà Sierpinski mới nói với chồng rằng "Bây giờ anh đứng đây coi chừng mười thùng đồ này cho em để em đi gọi taxi". Vài phút sau bà quay lại thì ông nheo mắt nói với bà "Anh tưởng em nói với anh coi chừng mười thùng đồ, nhưng sao anh đếm chỉ thấy có chín thùng." Bà vợ hốt hoảng tưởng là ông chồng mình lơ đãng để người ta trộm mất một thùng đồ, "Không, em chắc chắn là mười thùng mà!", "Không, em đếm lại đi, anh vừa đếm xong, đúng là chín thùng. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9!"

 
Sierpinski có viết một quyển sách rất hay về số học, đã được dịch ra tiếng Việt cách đây khá lâu, tôi không nhớ rõ tựa đề, hình như là "Tuyển tập các bài toán chọn lọc về số học". Nếu các bạn yêu thích số học thì nên tìm đọc quyển sách này.

 
Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.



 
Bài tập về nhà.
 
1. Dùng quy tắc xây dựng tam giác Pascal để giải thích vì sao tổng các số trên hàng $n$ của tam giác Pascal bằng $2^n$.
 
2. Chứng minh rằng số thứ $k$ trên dòng thứ $n$ của tam giác Pascal là $$p_{n,k} = {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}.$$

3. Chứng minh hằng đẳng thức 

$$(x+y)^n = x^n + {n \choose 1} x^{n-1} y + {n \choose 2} x^{n-2} y^2 + \dots + {n \choose {n-2}} x^{2} y^{n-2} + {n \choose 1} x  y^{n-1} + y^n$$

 


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh