Chủ đề này có 2 trả lời

[Baoriven]

Gọi $z$ là số phức thoả mãn:

\[ 2(z-i)^{2021}=(\sqrt{3}+i)(iz-1)^{2021}. \]

Xác định modul của $z$.

[chanhquocnghiem]

Gọi $z$ là số phức thoả mãn:

\[ 2(z-i)^{2021}=(\sqrt{3}+i)(iz-1)^{2021}. \]

Xác định modul của $z$.

Đặt $z=a+bi$ ($a,b\in\mathbb{R}$). Ta có : $2\left [ a+(b-1)i \right ]^{2021}=(\sqrt3+i)(-b-1+ai)^{2021}$

$\Rightarrow 2\left ( \sqrt{a^2+(b-1)^2} \right )^{2021}=2\left ( \sqrt{(b+1)^2+a^2} \right )^{2021}\Rightarrow b=0$.

Vậy $z$ là số thực ($z=a$) và ta có : $2(a-i)^{2021}=(\sqrt3+i)(ai-1)^{2021}$

$\Rightarrow \arg\left ( 2(a-i)^{2021} \right )=\arg\left ( (\sqrt3+i)(ai-1)^{2021} \right )$  $(^*)$

Đặt $\arg(a+i)=\alpha$ ($\alpha \in(0;\pi)$), ta có :

$\arg(a-i)=-\alpha$  ; $\arg(\sqrt3+i)=\frac{\pi}{6}$  ; $\arg(ai-1)=\frac{\pi}{2}+\alpha$

Nên từ $(^*)$ ta được $-2021\ \alpha +k.2\pi=\frac{\pi}{6}+2021\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )$

$\Rightarrow 4042\ \alpha +\frac{2\pi}{3}=k.2\pi$

$\Rightarrow \alpha =\frac{(3k-1)\pi}{6063}$ ($k\in\mathbb{N},1\leqslant k\leqslant 2021$)

$\Rightarrow a=\cot\alpha$ và $|z|=|a|=\left | \cot\alpha \right |=\left | \cot\frac{(3k-1)\pi}{6063} \right |$ ($k\in\mathbb{N},1\leqslant k\leqslant 2021$)

(Nghĩa là có tất cả $2021$ giá trị $|z|$ khác nhau thỏa mãn điều kiện đề bài)

 

[Baoriven]

Ở bước chứng minh $z$ là số thực, ta có thể linh hoạt hơn như sau:

PT tương đương với:

\[(z-i)^{2021}=(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)i^{2021}(z+i)^{2021}. \]

Do $\bigg|\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\bigg|=1$ nên $|z-i|=|z+i|$ hay $z$ là số thực.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 21-05-2021 - 14:01