$\boxed{30}$ Đường tròn (O) có dây cung BC cố định, A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường kính AD của (O). BD$\cap$AC=E, CD$\cap$AB=F. Gọi M là trung điểm EF. Tiếp tuyến của E và F của (AEF) cắt nhau tại K. Chứng minh AK đi qua 1 điểm cố định.
Gọi $AK\cap BC=U;AK\cap (AEF)=V.$ Có $\angle ACU=\angle AFE=\angle AVE\Rightarrow \Delta ACU \sim \Delta AVE\Rightarrow \dfrac{CU}{AU}=\dfrac{VE}{AE}.$
Chứng minh tương tự $\dfrac{BU}{AU}=\dfrac{VF}{AF}.$ Mặt khác theo một tính chất quen thuộc của tứ giác điều hòa thì $\dfrac{VE}{AE}=\dfrac{VF}{AF}.$
Từ đây thu được $U$ là trung điểm của $BC$. Vậy $AK$ luôn đi qua trung điểm $BC$ cố định.