Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$ (\sum \sqrt{a})^2 \geq \sum ab $

bulgari tst 2004

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 412 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 01-10-2019 - 22:59

$ \textbf{ Bài toán } $  ( Bulgaria TST 2004 )

Cho $ a,b,c \geq 1 $ thỏa $ a+b+c = 9 $. Chứng minh rằng : $ ( \sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c})^2 \geq ab+bc+ac $  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 01-10-2019 - 22:59

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#2 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 412 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 02-10-2019 - 21:08

Lời giải

Trước hết ta sẽ chứng minh

$ a^2 + 12\sqrt{3a} \geq 12a +  9 $ 

$ <=> (\sqrt{a} - \sqrt{3} )^2( a +2\sqrt{3}a - 3 ) \geq 0 $ (BĐT đúng do $ a +2\sqrt{3}a - 3 > 0 $ với $ a \geq 1 $.)

Áp dụng tương tự ta có 

$ \sum a^2 + 12\sqrt{3}\sum \sqrt{a} \geq 12 \sum a + 27 = 135 $ 

Trờ về bài toán, ta có 

$ \sum a^2  + 2( \sum \sqrt{a} )^2 + 54 \geq \sum a^2 + 12\sqrt{3} \sum \sqrt{a} \geq 135 $ 

$ => \sum a^2  + 2( \sum \sqrt{a} )^2  \geq 81 = (\sum a)^2 = \sum a^2 + 2\sum ab $ 

$ => ( \sum \sqrt{a} )^2 \geq \sum ab $ ( Đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 02-10-2019 - 21:29

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh