Cho a,b,c,x>0. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+x}{b+x}+\frac{b+x}{c+x}+\frac{c+x}{a+x}$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+x}{b+x}+\frac{b+x}{c+x}+\frac{c+x}{a+x}
Bắt đầu bởi darkangle249, 23-05-2021 - 00:46
#2
Đã gửi 23-05-2021 - 08:42
PDF
-
- Thành viên
-
- 197 Bài viết
Trung sĩ
Cho a,b,c,x>0. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+x}{b+x}+\frac{b+x}{c+x}+\frac{c+x}{a+x}$
Giả sử $c$ là số nhỏ nhất trong ba số. Ta có đánh giá sau:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)+(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-1)=\frac{(a-b)^{2}}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ac}\geq \frac{(a-b)^{2}}{(a+x)(b+x)}+\frac{(a-c)(b-c)}{(a+x)(c+x)}=\frac{a+x}{b+x}+\frac{b+x}{c+x}+\frac{c+x}{a+x}-3.$$
Đẳng thức xảy ra chỉ khi $a=b=c$. $\square$
- ChiMiwhh và darkangle249 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
