Tồn tại hay không 3 số a,b,c thỏa mãn:
$\frac{a}{b^{2}-ac}=\frac{b}{c^{2}-ab}=\frac{c}{a^{2}-bc}=\frac{1}{2021}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Just4Mgl: 23-05-2021 - 17:12
Tồn tại hay không 3 số a,b,c thỏa mãn:
$\frac{a}{b^{2}-ac}=\frac{b}{c^{2}-ab}=\frac{c}{a^{2}-bc}=\frac{1}{2021}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Just4Mgl: 23-05-2021 - 17:12
Tổng quát: Thay $2021$ bằng số thực $k\neq 0$ bất kỳ
ĐKXĐ: $b^{2}\neq ac$, $c^{2}\neq ab$, $a^{2}\neq bc$. Từ gt suy ra $a,b,c\neq 0$
$\left\{\begin{matrix} b^{2}-ac=ka (1) \\ c^{2}-ab=kb (2) \\ a^{2}-bc=kc (3) \end{matrix}\right.$
Trừ pt ($1$) cho pt ($2$): $(b-c)(a+b+c)=k(a-b)$ ($4$)
Tương tự: $(c-a)(a+b+c)=k(b-c)$ ($5$)
$(a-b)(a+b+c)=k(c-a)$ ($6$)
Trong $3$ số $a,b,c$ nếu có $2$ số bằng nhau. Không giảm tính tổng quát, giả sử $a=b$
Từ pt ($6$) suy ra $c=a$. Thay vào pt ($1$), ($2$), ($3$) suy ra $a=b=c=0$ (vô lý)
Do đó $3$ số $a,b,c$ đôi một khác nhau $\Rightarrow a+b+c\neq 0$
Nhân vế theo vế $3$ pt ($4$), ($5$), ($6$): $a+b+c=k$. Thay vào pt ($4$), ($5$), ($6$):
$a-b=b-c=c-a \Rightarrow a=b=c$ (vô lý)
Vậy $\nexists a,b,c$ thỏa mãn yêu cầu bài toán
Tồn tại hay không 3 số a,b,c thỏa mãn:
$\frac{a}{b^{2}-ac}=\frac{b}{c^{2}-ab}=\frac{c}{a^{2}-bc}=\frac{1}{2021}$
Giả sử tồn tại $a,b,c$ như vậy. Khi đó ta có
$$2021(a^{2}+b^{2}+c^{2})=a(b^{2}-ca)+b(c^{2}-ab)+c(a^{2}-bc)=0.$$
Điều này mâu thuẫn giả thiết. Vậy không tồn tại $a,b,c$. $\square$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh