Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sum \frac{a}{a+2bc} \leq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
RyderAndonis

RyderAndonis

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết

cho các số thực dương thỏa $a+b+c=3$

Chứng minh 

$\sum \frac{a}{a+2bc} \geq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RyderAndonis: 25-05-2021 - 11:01


#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bất đẳng thức này bị ngược dấu, dễ dàng có phản ví dụ: $\lceil (a;b;c)\rightarrow (0,9;0,8;1,3)\rfloor$

Lời giải.

Áp dụng Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: $\dfrac{a}{a+2bc}+\dfrac{b}{b+2ac}+\dfrac{c}{c+2ab} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6abc}$

Cần chứng minh: $(a+b+c)^2\geqslant a^2+b^2+c^2+6abc\Leftrightarrow ab+bc+ca\geqslant 3abc\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)\geqslant 9abc$

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 24-05-2021 - 18:50

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh