Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 24-05-2021 - 11:01
$(a,b,c)?$ thoả: $2^a+3^b+1=6^c.$
#1
Đã gửi 23-05-2021 - 23:40
- ChiMiwhh và DaiphongLT thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#2
Đã gửi 24-05-2021 - 10:50
Có mấy bộ số $(a,b,c)$ thỏa mãn phương trình\[2^a+3^b+1=6^c.\]
không có điều kiện của a,b,c hả a:))
ズ刀Oア
#3
Đã gửi 24-05-2021 - 10:59
Số nguyên. Còn hỏi xéo nữa
- DaiphongLT yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#4
Đã gửi 24-05-2021 - 15:47
Có 3 bộ ạ (1;1;1);(3;3;2);(5;1;2)
#5
Đã gửi 24-05-2021 - 15:47
Trước hết chứng minh $a,b,c$ không âm:
Với mọi $a,b$ nguyên thì $2^a + 3^b + 1 > 1 \Rightarrow 6^c > 1 \Rightarrow c > 0$.
Mặt khác, nếu chỉ $a$ hoặc $b$ là số âm thì $2^a + 3^b \not \in \mathbb{Z}$: trái với đề. Còn nếu cả $a$ và $b$ đều âm thì
$0<2^a + 3^b\le 2^{-1} + 3^{-1} = \frac{5}{6} < 1 \Rightarrow 2^a + 3^b$ cũng không nguyên: trái với đề.
Như thế bài toán quy về tìm $a,b,c$ tự nhiên.
Phần còn lại thì từ từ mình suy nghĩ tiếp
- DaiphongLT, Velomi, Lemonjuice và 1 người khác yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#6
Đã gửi 25-05-2021 - 13:41
Làm tiếp phần 2 bằng phương pháp chặn kinh điển. Dựa theo gợi ý của bạn pkh
Có 3 bộ ạ (1;1;1);(3;3;2);(5;1;2)
Thì chúng ta sẽ bắt đầu chứng minh $c \le 2$. Thật vậy, giả sử $c \ge 3$, suy ra $6^c \vdots 2^3 \Rightarrow 2^a + 3^c + 1 \vdots 8$.
Nếu $a \ge 3$ thì sẽ dẫn tới $2^a \vdots 3 \Rightarrow 3^c + 1 \vdots 8$.
Mà để ý rằng $3^b + 1 \not \vdots 8 \forall b$ (nếu $b$ chẵn thì $3^b \equiv 1 (mod 8)$ còn nếu $b$ lẻ thì $3^b \equiv 3 (mod 8)$). Vậy nên $a \le 2$.
Nếu $a=0 \Rightarrow 3^b + 2 \vdots 8$: vô lý vì $3^b + 2$ lẻ.
Nếu $a=1 \Rightarrow VT = 3^b + 3 = 6^c \vdots 9$. Nếu $b=0$ thì $4 \vdots 9$: vô lý. Nếu $b=1$ thì $6 \vdots 9$: cũng vô lý. Nếu $b \ge 2$ thì $3 \vdots 9$: vô lý nốt.
Nếu $a=2 \Rightarrow VT = 3^b + 5 = 6^c \vdots 9$. Tương tự trường hợp $a=1$, điều này cũng dẫn tới vô lý.
Suy cho cùng, $c \le 2 \Rightarrow c=1$ hoặc $c=2$. Tới đây dùng biện pháp thử chọn là được rồi
- Baoriven, Hoang72, Velomi và 1 người khác yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#7
Đã gửi 25-05-2021 - 14:50
Cũng na ná Nên trình bày thêm
- perfectstrong, DaiphongLT, Hoang72 và 1 người khác yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#8
Đã gửi 25-05-2021 - 15:20
Bài này từng xuất hiện trong báo TTT thì phải
#9
Đã gửi 25-05-2021 - 15:28
Bài toán tìm số nguyên của cấp $2$ thường có dạng:
Mệnh đề $P$ đúng với bộ số $(a,b,c)\in A$. Nếu $(a,b,c)\not\in A$ thì $P$ sai.
Và $A=\{(a,b,c)|a\leq a_0,b\leq b_0,c\leq c_0\}$ với $a_0,b_0,c_0$ tương đối nhỏ, thông thường không quá $10$.
P/S: Các bạn THCS lưu ý để ghi điểm nhá
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 25-05-2021 - 15:29
- kkqwe yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#10
Đã gửi 25-05-2021 - 20:06
Bài này từng xuất hiện trong báo TTT thì phải
Đúng vậy á
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh