Đến nội dung

Hình ảnh

$(a,b,c)?$ thoả: $2^a+3^b+1=6^c.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết
Có mấy bộ số $(a,b,c)\in\mathbb{Z}$ thỏa mãn phương trình
\[2^a+3^b+1=6^c.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 24-05-2021 - 11:01

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

 

Có mấy bộ số $(a,b,c)$ thỏa mãn phương trình
\[2^a+3^b+1=6^c.\]

 

không có điều kiện của a,b,c hả a:))


ズ刀Oア


#3
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

:) Số nguyên. Còn hỏi xéo nữa 


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#4
pkh2705

pkh2705

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Có 3 bộ ạ (1;1;1);(3;3;2);(5;1;2)



#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Trước hết chứng minh $a,b,c$ không âm:

Với mọi $a,b$ nguyên thì $2^a + 3^b + 1 > 1 \Rightarrow 6^c > 1 \Rightarrow c > 0$.

Mặt khác, nếu chỉ $a$ hoặc $b$ là số âm thì $2^a + 3^b \not \in \mathbb{Z}$: trái với đề. Còn nếu cả $a$ và $b$ đều âm thì

$0<2^a + 3^b\le 2^{-1} + 3^{-1} = \frac{5}{6} < 1 \Rightarrow 2^a + 3^b$ cũng không nguyên: trái với đề.
Như thế bài toán quy về tìm $a,b,c$ tự nhiên.

Phần còn lại thì từ từ mình suy nghĩ tiếp :)


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Làm tiếp phần 2 bằng phương pháp chặn kinh điển. Dựa theo gợi ý của bạn pkh

Có 3 bộ ạ (1;1;1);(3;3;2);(5;1;2)

Thì chúng ta sẽ bắt đầu chứng minh $c \le 2$. Thật vậy, giả sử $c \ge 3$, suy ra $6^c \vdots 2^3 \Rightarrow 2^a + 3^c + 1 \vdots 8$.

Nếu $a \ge 3$ thì sẽ dẫn tới $2^a \vdots 3 \Rightarrow 3^c + 1 \vdots 8$.

Mà để ý rằng $3^b + 1 \not \vdots 8 \forall b$ (nếu $b$ chẵn thì $3^b \equiv 1 (mod 8)$ còn nếu $b$ lẻ thì $3^b \equiv 3 (mod 8)$). Vậy nên $a \le 2$.

Nếu $a=0 \Rightarrow 3^b + 2 \vdots 8$: vô lý vì $3^b + 2$ lẻ.

Nếu $a=1 \Rightarrow VT = 3^b + 3 = 6^c \vdots 9$. Nếu $b=0$ thì $4 \vdots 9$: vô lý. Nếu $b=1$ thì $6 \vdots 9$: cũng vô lý. Nếu $b \ge 2$ thì $3 \vdots 9$: vô lý nốt.

Nếu $a=2 \Rightarrow VT = 3^b + 5 = 6^c \vdots 9$. Tương tự trường hợp $a=1$, điều này cũng dẫn tới vô lý.

Suy cho cùng, $c \le 2 \Rightarrow c=1$ hoặc $c=2$. Tới đây dùng biện pháp thử chọn là được rồi :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#7
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Cũng na ná :) Nên trình bày thêm

$3$ bộ số thỏa mãn.
Ta có: $2^a+3^b+1=2^c.3^c$.
Nếu $a,c\geq 3$ thì $3^b\equiv 7\pmod{8}$ (vô lý) nên phải có ít nhất $1$ trong $a$ và $c$ phải nhỏ hơn $3$. 
$TH1:$ $a=1$ thì $3^b+3=2^c.3^c$. Suy ra $c=1;2$ do $3^b+3$ không chia hết cho $8$. Thử lại thì được bộ $(a,b,c)=(1,1,1).$
$TH2:$ $a=2$ thì $3^b+5$ lại không chia hết cho $3$ nên loại.
$TH3:$ $c=1$ thì $2^a+3^b+1=6$, trùng hợp $TH1$.
$TH4:$ $c=2$ thì $2^a+3^b=35$. Dễ dàng thử được $2$ bộ, $(a,b,c)=(3,3,2),(5,1,2).$
Vậy có $3$ bộ số là $(1,1,1),(3,3,2),(5,1,2).$

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#8
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Bài này từng xuất hiện trong báo TTT thì phải 



#9
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Bài toán tìm số nguyên của cấp $2$ thường có dạng:

Mệnh đề $P$ đúng với bộ số $(a,b,c)\in A$. Nếu $(a,b,c)\not\in A$ thì $P$ sai.

Và $A=\{(a,b,c)|a\leq a_0,b\leq b_0,c\leq c_0\}$ với $a_0,b_0,c_0$ tương đối nhỏ, thông thường không quá $10$.

 

P/S: Các bạn THCS lưu ý để ghi điểm nhá ;)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 25-05-2021 - 15:29

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#10
pkh2705

pkh2705

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Bài này từng xuất hiện trong báo TTT thì phải 

Đúng vậy á :D






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh