Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $n+p$ là số chính phương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Cho các số tự nhiên $n$ và các số nguyên tố $p$ thoả mãn $p-1\vdots n$ đồng thời $n^3-1\vdots p$. Chứng minh rằng $n+p$ là số chính phương.



#2
pkh2705

pkh2705

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Ta có:
$n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)\vdots p,$, mà $p-1\vdots n\Rightarrow p-1\geq n \Rightarrow p> n-1$

nên $n^2+n+1\vdots p$

Đặt $p-1=nk(k\in \mathbb{N})\Rightarrow p=nk+1$,

suy ra $n^2+n+1\vdots nk+1\Rightarrow n^2+n+1\geq nk+1\Rightarrow n(n+1)\geq nk\Rightarrow n+1\geq k$

Lại có $n^2+n+1\vdots nk+1\Rightarrow k(n^2+n+1)-n(nk+1)\vdots nk+1\Rightarrow nk+k-n\vdots kn-1\Rightarrow (k-1)n+k\vdots nk+1\Rightarrow (k-1)n+k\geq nk+1\Rightarrow k\geq n+1$

Do đó $k=n+1$, suy ra $p=n^2+n+1$

Vậy $n+p=(n+1)^2$ là số chính phương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pkh2705: 27-05-2021 - 21:41





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh