Cho các số tự nhiên $n$ và các số nguyên tố $p$ thoả mãn $p-1\vdots n$ đồng thời $n^3-1\vdots p$. Chứng minh rằng $n+p$ là số chính phương.
Chứng minh rằng $n+p$ là số chính phương
Bắt đầu bởi DBS, 24-05-2021 - 10:16
#1
Đã gửi 24-05-2021 - 10:16
#2
Đã gửi 27-05-2021 - 21:29
Ta có:
$n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)\vdots p,$, mà $p-1\vdots n\Rightarrow p-1\geq n \Rightarrow p> n-1$
nên $n^2+n+1\vdots p$
Đặt $p-1=nk(k\in \mathbb{N})\Rightarrow p=nk+1$,
suy ra $n^2+n+1\vdots nk+1\Rightarrow n^2+n+1\geq nk+1\Rightarrow n(n+1)\geq nk\Rightarrow n+1\geq k$
Lại có $n^2+n+1\vdots nk+1\Rightarrow k(n^2+n+1)-n(nk+1)\vdots nk+1\Rightarrow nk+k-n\vdots kn-1\Rightarrow (k-1)n+k\vdots nk+1\Rightarrow (k-1)n+k\geq nk+1\Rightarrow k\geq n+1$
Do đó $k=n+1$, suy ra $p=n^2+n+1$
Vậy $n+p=(n+1)^2$ là số chính phương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pkh2705: 27-05-2021 - 21:41
- ChiMiwhh yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh