Chủ đề này có 1 trả lời

[Lemonjuice]

Tìm $x$ nguyên dương và 2 số nguyên $a$ và $b$ sao cho $a^{x}=b^{2}+2$

 

Tổng quát hơn: Tìm $x;y$ nguyên dương và 2 số nguyên $a$ và $b$ sao cho $a^{x}=b^{y}+2$

 

P/S: Mong mọi người giải bài đầu bằng $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ giúp em còn bài "tổng quát" chỉ là thắc mắc của riêng em thôi ạ.

 

[vutuanhien]

Tìm $x$ nguyên dương và 2 số nguyên $a$ và $b$ sao cho $a^{x}=b^{2}+2$

 

Tổng quát hơn: Tìm $x;y$ nguyên dương và 2 số nguyên $a$ và $b$ sao cho $a^{x}=b^{y}+2$

 

P/S: Mong mọi người giải bài đầu bằng $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ giúp em còn bài "tổng quát" chỉ là thắc mắc của riêng em thôi ạ.

Từ phương trình ban đầu ta có 

\[a^{x}=(b-\sqrt{-2})(b+\sqrt{-2}). \]

Nếu $2\mid b$ thì $2\mid a^{x}$ nên $2\mid a$. Trong trường hợp $x\ge 2$ thì $4\mid a^{x}$ nhưng $4\not\mid b^{2}+2$, do đó $x=1$ và $(k^{2}+2, k)$ là nghiệm. Nếu $2\not\mid b$ thì 

\[(b-\sqrt{-2}, b+\sqrt{-2}) = 1 \]

nên $b+\sqrt{2}=(m+n\sqrt{-2})^{x}$. Khai triển ra ta sẽ có

\[ 1 = \sum \binom{x}{2k+1}(-2)^{k}m^{x-2k-1}n^{2k+1}\]

nên $n=\pm 1$. Nếu $x$ chẵn thì từ phương trình ban đầu ta có 

\[(a^{k}-b)(a^{k}+b)=2\]

vô lý vì cả hai nhân tử đều phải có cùng tính chẵn lẻ. Nếu $x$ lẻ thì

\[\pm 1 =\sum \binom{x}{2k+1}(-2)^{k}m^{x-2k-1}. \]

Đến đây việc giải nói chung là phức tạp, thậm chí trong trường hợp $x=3$ đã phức tạp và liên quan đến đường cong elliptic (phương trình Mordell). Lâu rồi mình không giải mấy cái này nên cũng không rõ có giải được tiếp không. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 28-04-2021 - 23:42