Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất phương trình


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 Tran Viet Hoang

Tran Viet Hoang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-10-2019 - 20:42

Bài 1:

Cho a,b,c$\geq$0.

ab+bc+ca=1

Tìm MIN của: $\sum \frac{1}{2a^{2}-3ab+2b^{2}}$.

 

Bài 2:

Cho a,b,c$>$). CMR:

a) $\sum \frac{a^{2}}{b} \geq \sum \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}$.

b)$\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \sqrt{2a^{2}-3ab+2b^{2}}$.

 

Bài 3:

Cho a,b,c$\geq$0

4a+2b+=3c=7

Tìm MAX của:$P=a^{2}+ab+3ac-2bc$



#2 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 387 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 05-10-2019 - 22:25

Bài 1. Giả sử $ a\geq b \geq c $.

Ta có :

$ a^2  - \frac{3}{2}ac + c^2 \leq ( a+\frac{c}{2})^2 $ 

$ b^2 - \frac{3}{2}bc + c^2 \leq (b+\frac{c}{2})^2 $ 

$ a^2 - \frac{3}{2}ab +b^2 \leq ( a+\frac{c}{2})^2  + (b+\frac{c}{2})^2 - \frac{3}{2}( a+\frac{c}{2}) (b+\frac{c}{2}) $ 

$ ab+bc+ac \geq (a+\frac{c}{2})(b+\frac{c}{2}) $ 

Đặt $ a + \frac{c}{2} = x, b + \frac{c}{2} = y $ suy ra : 

 

$ VT \geq  \frac{1}{x^2 - kxy+y^2} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}   = \frac{1}{xy}( \frac{xy}{x^2 - \frac{3}{2}xy+y^2} + \frac{xy}{x^2} + \frac{xy}{y^2})  =\frac{1}{xy}( \frac{xy}{x^2 - \frac{3}{2}xy+y^2} + \frac{x^2 - \frac{3}{2}xy+y^2}{xy} + \frac{3}{2} ) \geq \frac{1}{xy}( 2 + \frac{3}{2}) \geq \frac{1}{ab+bc+ac}\frac{7}{2} = \frac{7}{2}  $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 09-10-2019 - 19:31

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#3 Tran Viet Hoang

Tran Viet Hoang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-10-2019 - 22:28

Bài 1. Giả sử $ a\geq b \geq c $.

Ta có :

$ a^2  - \frac{3}{2} + c^2 \leq ( a+\frac{c}{2})^2 $ 

$ b^2 - \frac{3}{2}bc + c^2 \leq (b+\frac{c}{2})^2 $ 

$ a^2 - \frac{3}{2}ab +b^2 \leq ( a+\frac{c}{2})^2  + (b+\frac{c}{2})^2 - \frac{3}{2}( a+\frac{c}{2}) (b+\frac{c}{2}) $ 

$ ab+bc+ac \geq (a+\frac{c}{2})(b+\frac{c}{2}) $ 

Đặt $ a + \frac{c}{2} = x, b + \frac{c}{2} = y $ suy ra : 

 

$ VT \geq  \frac{1}{x^2 - kxy+y^2} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}   = \frac{1}{xy}( \frac{xy}{x^2 - \frac{3}{2}xy+y^2} + \frac{xy}{x^2} + \frac{xy}{y^2})  =\frac{1}{xy}( \frac{xy}{x^2 - \frac{3}{2}xy+y^2} + \frac{x^2 - \frac{3}{2}xy+y^2}{xy} + \frac{3}{2} ) \geq \frac{1}{xy}( 2 + \frac{3}{2}) \geq \frac{1}{ab+bc+ac}\frac{7}{2} = \frac{7}{2}  $ 

bài 2 bạn có làm đc ko. bài 3 mình làm đc rồi, thanks.



#4 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 387 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 05-10-2019 - 22:29

Bài 2a). Ta có $ \sum \frac{a^2}{b} \geq \sum a $

$ VP = \sum \sqrt{b(\frac{a^2}{b} - a + b)} \leq \sum \frac{\frac{a^2}{b} - a + b+b}{2} = \frac{ \sum \frac{a^2}{b} + \sum a }{2} \leq \frac{\sum \frac{a^2}{b}+\sum \frac{a^2}{b}}{2} = VT $ 

Bài 2b) Tương tự.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 05-10-2019 - 22:31

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#5 Tran Viet Hoang

Tran Viet Hoang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-10-2019 - 22:33

Bài 2a). Ta có $ \sum \frac{a^2}{b} \geq \sum a $

$ VP = \sum \sqrt{b(\frac{a^2}{b} - a + b)} \leq \sum \frac{\frac{a^2}{b} - a + b+b}{2} = \frac{ \sum \frac{a^2}{b} + \sum a }{2} \leq \frac{\sum \frac{a^2}{b}+\sum \frac{a^2}{b}}{2} = VT $ 

Bài 2b) Tương tự.

vì sao $\sum \tfrac{a^2}{b} \geq \sum a$?



#6 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 387 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 05-10-2019 - 22:34

$ \frac{a^2 }{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} = a+b+c $ 


$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#7 Tran Viet Hoang

Tran Viet Hoang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-10-2019 - 22:40

$ \frac{a^2 }{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} = a+b+c $ 

a,b,c>0; abc=1. CMR:

a)$\sum \frac{a}{ab+1}\geq \frac{3}{2}$.

b)$\sum \frac{1}{a\sqrt{a+1}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$



#8 Tran Viet Hoang

Tran Viet Hoang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-10-2019 - 23:04

ah

 

$ \frac{a^2 }{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} = a+b+c $ 

 Nhầm, mình chx làm đc bài 3



#9 Khoipro999

Khoipro999

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thuận Thành - Bắc Ninh
  • Sở thích:Giải toán , nghe nhạc , thích giải BĐT , cực gà Dideple

Đã gửi 06-10-2019 - 09:52

a,b,c>0; abc=1. CMR:

a)$\sum \frac{a}{ab+1}\geq \frac{3}{2}$.

b)$\sum \frac{1}{a\sqrt{a+1}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

 

a ) Từ GT : a , b , c > 0 ; abc = 1 ta đặt : a = x/y ; b=y/z ; c=z/x (x;y;z>0)

Khi đó : $\frac{a}{ab+1} = \frac{1}{b+\frac{1}{a}} = \frac{1}{\frac{y}{z}+\frac{y}{x}} = \frac{xz}{xy+yz}$$\geq \frac{3}{2}$

Tương tự : b/bc+1  =  xy/yz+xz

c/ac+1 = yz/xz+xy

Ta cần c/m : xz/xy+yz + xy/yz+xz  +  yz/xz+xy >= 3/2

( BĐT quen thuộc ) 


Rất mong được mọi người góp ý , giúp đỡ   :icon6:

Relaxing music : Beautiful Relaxing Music ~ Light Piano, Guitar & Flute Music ...

 

 

#10 Tran Viet Hoang

Tran Viet Hoang

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-10-2019 - 21:27

a ) Từ GT : a , b , c > 0 ; abc = 1 ta đặt : a = x/y ; b=y/z ; c=z/x (x;y;z>0)

Khi đó : $\frac{a}{ab+1} = \frac{1}{b+\frac{1}{a}} = \frac{1}{\frac{y}{z}+\frac{y}{x}} = \frac{xz}{xy+yz}$$\geq \frac{3}{2}$

Tương tự : b/bc+1  =  xy/yz+xz

c/ac+1 = yz/xz+xy

Ta cần c/m : xz/xy+yz + xy/yz+xz  +  yz/xz+xy >= 3/2

( BĐT quen thuộc ) 

quen chỗ nào bạn? mình ko làm đc.



#11 vucuong2005

vucuong2005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Làm bất đẳng thức + xem anime

Đã gửi 08-10-2019 - 22:19

quen chỗ nào bạn? mình ko làm đc.

 

đặt ẩn m=xy,n=yz,p,zx. giả thiết thì x,y,z >0 >>  m,n,p >0 
cần chứng minh : m/(n+p) + n/(p+m) + p(m+n) >= 3/2.
(bđt nesbitt cho 3 số dương)

c/m: có $\sum (\frac{m}{n+p} +1) \geq \frac{9}{2}$
<=> $ 2 \sum \frac{m+n+p}{n+p} \geq 9$
<=> $ 2(m+n+p)( \sum \frac{1}{m+n}) \geq 9$
<=> $ ( \sum (m+n) )( \sum \frac {1}{m+n}) \geq 9$ . đúng do cauchy-schwarz
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vucuong2005: 08-10-2019 - 22:59

quyết tâm đỗ chuyên !!!!


#12 vucuong2005

vucuong2005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Làm bất đẳng thức + xem anime

Đã gửi 08-10-2019 - 22:53

Bài 1. Giả sử $ a\geq b \geq c $.

Ta có :

$ a^2  - \frac{3}{2} + c^2 \leq ( a+\frac{c}{2})^2 $ 

$ b^2 - \frac{3}{2}bc + c^2 \leq (b+\frac{c}{2})^2 $ 

$ a^2 - \frac{3}{2}ab +b^2 \leq ( a+\frac{c}{2})^2  + (b+\frac{c}{2})^2 - \frac{3}{2}( a+\frac{c}{2}) (b+\frac{c}{2}) $ 

$ ab+bc+ac \geq (a+\frac{c}{2})(b+\frac{c}{2}) $ 

Đặt $ a + \frac{c}{2} = x, b + \frac{c}{2} = y $ suy ra : 

 

$ VT \geq  \frac{1}{x^2 - kxy+y^2} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}   = \frac{1}{xy}( \frac{xy}{x^2 - \frac{3}{2}xy+y^2} + \frac{xy}{x^2} + \frac{xy}{y^2})  =\frac{1}{xy}( \frac{xy}{x^2 - \frac{3}{2}xy+y^2} + \frac{x^2 - \frac{3}{2}xy+y^2}{xy} + \frac{3}{2} ) \geq \frac{1}{xy}( 2 + \frac{3}{2}) \geq \frac{1}{ab+bc+ac}\frac{7}{2} = \frac{7}{2}  $ 

sao mình ra khác bạn nhở :) 
Giải. 
​gs c=min{a,b,c} => $ 2c^2 \leq 2ac => 2a^2 + 2c^2 -3ac \leq 2a^2 + 2c^2 - 2ac \leq 2a^2$ (do a,b,c k âm) (c=0)

=> $\frac{1}{2a^2 +2c^2 -3ac} \geq \frac{1}{2a^2}$. tương tự có $\frac{1}{2b^2+2c^2-3bc} \geq \frac{1}{2b^2}$
=> $P \geq \frac{1}{2a^2} + \frac{1}{2b^2} + \frac{1}{2a^2+2b^2-3ab} = \frac{2a^2+2b^2}{4a^2b^2} + \frac{1}{2a^2+2b^2-3ab} = \frac{2a^2+2b^2-3ab}{4a^2b^2} + \frac{1}{2a^2+2b^2-3ab} + \frac{3ab}{4a^2b^2}$
Theo AM-GM có $\frac{2a^2+2b^2-3ab}{4a^2b^2} + \frac{1}{2a^2+2b^2-3ab} \geq \frac{1}{ab}$ 
=> $P \geq \frac{3}{4ab} + \frac{4}{4ab} = \frac{7}{4ab}$
Lại có a,b,c không âm nên $ ab \leq ab+bc+ca $ (c=0)
=> $P \geq \frac{7}{4(ab+bc+ca)} = \frac{7}{4}$
dấu bằng khi $ a= \frac{\sqrt{2}}{2} , b=\sqrt{2} ,c=0$


quyết tâm đỗ chuyên !!!!


#13 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 387 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 09-10-2019 - 19:30

sao mình ra khác bạn nhở :) 
Giải. 
​gs c=min{a,b,c} => $ 2c^2 \leq 2ac => 2a^2 + 2c^2 -3ac \leq 2a^2 + 2c^2 - 2ac \leq 2a^2$ (do a,b,c k âm) (c=0)

=> $\frac{1}{2a^2 +2c^2 -3ac} \geq \frac{1}{2a^2}$. tương tự có $\frac{1}{2b^2+2c^2-3bc} \geq \frac{1}{2b^2}$
=> $P \geq \frac{1}{2a^2} + \frac{1}{2b^2} + \frac{1}{2a^2+2b^2-3ab} = \frac{2a^2+2b^2}{4a^2b^2} + \frac{1}{2a^2+2b^2-3ab} = \frac{2a^2+2b^2-3ab}{4a^2b^2} + \frac{1}{2a^2+2b^2-3ab} + \frac{3ab}{4a^2b^2}$
Theo AM-GM có $\frac{2a^2+2b^2-3ab}{4a^2b^2} + \frac{1}{2a^2+2b^2-3ab} \geq \frac{1}{ab}$ 
=> $P \geq \frac{3}{4ab} + \frac{4}{4ab} = \frac{7}{4ab}$
Lại có a,b,c không âm nên $ ab \leq ab+bc+ca $ (c=0)
=> $P \geq \frac{7}{4(ab+bc+ca)} = \frac{7}{4}$
dấu bằng khi $ a= \frac{\sqrt{2}}{2} , b=\sqrt{2} ,c=0$

À, lúc đầu mình nhân BĐT cho 2 nên kết qua sau là $ \frac{7}{2} $. Đúng là $ \frac{7}{4} $ giống bạn nhé. 


$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#14 vucuong2005

vucuong2005

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Làm bất đẳng thức + xem anime

Đã gửi 09-10-2019 - 21:48

À, lúc đầu mình nhân BĐT cho 2 nên kết qua sau là $ \frac{7}{2} $. Đúng là $ \frac{7}{4} $ giống bạn nhé. 

 

ê mà cho xin cái like đi =))) 


quyết tâm đỗ chuyên !!!!





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh