Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$\frac{a}{b^{6}+729}+\frac{b}{c^{6}+729}+\frac{c}{a^{6}+729}$

bất đẳng thức và cực tri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$\boxed{\text{Bài toán}}$ Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=4$

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$\frac{a}{b^{6}+729}+\frac{b}{c^{6}+729}+\frac{c}{a^{6}+729}$ 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#2
bimcaucau

bimcaucau

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

điểm rơi là bao nhiêu anh nhỉ?

em đoán là a=b=c hoặc là a=0 b = 1 c=3



#3
truonganh2812

truonganh2812

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Thử check xem :
$\frac{1}{729}(a - \frac{a^6}{b^6 + 27^2}) \ge \frac{1}{729}(a - \frac{ab^3}{54})$
( Dễ CM cái trên ) 
$=>P\geq \frac{4}{729}-\frac{1}{729}(\frac{\sum bc^3}{54})\\ DO:\sum bc^3\leq 27=>MinP=...$
 



#4
bimcaucau

bimcaucau

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

Thử check xem :
$\frac{1}{729}(a - \frac{a^6}{b^6 + 27^2}) \ge \frac{1}{729}(a - \frac{ab^3}{54})$
( Dễ CM cái trên ) 
$=>P\geq \frac{4}{729}-\frac{1}{729}(\frac{\sum bc^3}{54})\\ DO:\sum bc^3\leq 27=>MinP=...$
 

$\sum bc^3\leq 27$ đào đâu ra ấy bác ?



#5
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

$\sum bc^3\leq 27$ đào đâu ra ấy bác ?

Nếu giả sử $b$ là số nằm giữa $a,c$ thì ta có $$a(a+b)(a-b)(b-c)\geq 0,$$

hay $$ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}\leq b(a^{3}+c^{3}+abc)\leq b(a+c)^{3}.$$

Mặt khác, ta có $$b(a+c)^{3}\leq 27\left(\frac{b+\frac{a+c}{3}+\frac{a+c}{3}+\frac{a+c}{3}}{4}\right)^{4}=27.$$

Vì vậy $ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}\leq 27$.



#6
bimcaucau

bimcaucau

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

Nếu giả sử $b$ là số nằm giữa $a,c$ thì ta có $$a(a+b)(a-b)(b-c)\geq 0,$$

hay $$ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}\leq b(a^{3}+c^{3}+abc)\leq b(a+c)^{3}.$$

Mặt khác, ta có $$b(a+c)^{3}\leq 27\left(\frac{b+\frac{a+c}{3}+\frac{a+c}{3}+\frac{a+c}{3}}{4}\right)^{4}=27.$$

Vì vậy $ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}\leq 27$.

$b(a^{3}+c^{3}+abc)\leq b(a+c)^{3}$

chỗ này là sao thế ạ ?



#7
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

$b(a^{3}+c^{3}+abc)\leq b(a+c)^{3}$

chỗ này là sao thế ạ ?

Do $b$ nằm giữa $a,c$ nên $b\leq \max\lbrace a,c\rbrace\leq a+c<3(a+c)$.



#8
bimcaucau

bimcaucau

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

Do $b$ nằm giữa $a,c$ nên $b\leq \max\lbrace a,c\rbrace\leq a+c<3(a+c)$.

ok ông, cơ mà dấu = hình như đâu phải a=b=c đâu nhỉ



#9
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

ok ông, cơ mà dấu = hình như đâu phải a=b=c đâu nhỉ

Nhưng khi nhân thêm $ac$ vào thì dấu bằng bị phân ly sang TH $ac=0$ nữa



#10
bimcaucau

bimcaucau

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

bác giải giúp em bài mới nhất em mới đăng được hông :3







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực tri

3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh