Chủ đề này có 4 trả lời

[lpalopea]

Cho đa thức $P(x)$ thỏa mãn: $P(x^2) = x^2(x^2 + 1) . P(x)$. Hãy xác định bậc của đa thức $P(x)$.

[Baoriven]

Thế $x=1$, thì $P(1)=2P(1)$, nên $P(1)=0$. 

Thế $x=-1$, thì $P(1)=2P(-1)$ nên $P(-1)=0$.

Thế $x=0$, thì $P(0)=0$.

Vậy $x=\pm 1;0$ là nghiệm của $P(x)$.

Ta có $deg(P(x))=\alpha$ thì $2\alpha=4+\alpha$ nên $\alpha=4$.

Giả sử $P(x)=x(x-1)(x+1)(x+a)$, (hệ số của bậc tự do giả sử bằng $1$).

Suy ra $P(x^2)=x^2(x^2+1)(x^2-1)(x^2+a)$ và $x^2(x^2+1)P(x)=x^2(x^2+1)(x-1)(x+1)x(x+a)$.

Nên $x^2+a=x(x+a)$ suy ra $a=0$.

Vậy $P(x)=cx^2(x^2-1)$.

[lpalopea]

Thế $x=1$, thì $P(1)=2P(1)$, nên $P(1)=0$.
Thế $x=-1$, thì $P(1)=2P(-1)$ nên $P(-1)=0$.
Thế $x=0$, thì $P(0)=0$.
Vậy $x=\pm 1;0$ là nghiệm của $P(x)$.
Ta có $deg(P(x))=\alpha$ thì $2\alpha=4+\alpha$ nên $\alpha=4$.
Giả sử $P(x)=x(x-1)(x+1)(x+a)$, (hệ số của bậc tự do giả sử bằng $1$).
Suy ra $P(x^2)=x^2(x^2+1)(x^2-1)(x^2+a)$ và $x^2(x^2+1)P(x)=x^2(x^2+1)(x-1)(x+1)x(x+a)$.
Nên $x^2+a=x(x+a)$ suy ra $a=0$.
Vậy $P(x)=cx^2(x^2-1)$.

[lpalopea]

Tại sao lại tính bậc của $P(x)$ như thế ạ?

[Baoriven]

Bậc cao nhất của $VT$ là $2\alpha$.

Còn bậc cao nhất của $VP$ là tổng bậc cao nhất của $x^2,x^2+1$ và $P(x)$ là $2+2+\alpha$.