Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Max $P=a^3+b^3+c^3-\frac{3}{a}-\frac{3}{b}-\frac{3}{c}.$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 toihoctoan

toihoctoan

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đã gửi 06-10-2019 - 22:05

Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của

$P=a^3+b^3+c^3-\frac{3}{a}-\frac{3}{b}-\frac{3}{c}.$

(Đề thi hsg toán 12 Hà Nội 2019 - 2020)



#2 WaduPunch

WaduPunch

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textbf{ A1K47-THPT chuyên PBC }$
  • Sở thích:Mén Nì Thình

Đã gửi 07-10-2019 - 22:45

Không làm mất tính tổng quát, giả sử $a \leq b \leq c$ ta có:

Xét $f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c)-f(a,b,c)=\frac{(a+b)^3}{4}-a^3-b^3-\frac{12}{a+b}+\frac{3}{a}+\frac{3}{b}=-\frac{3(a-b)^2(a+b)}{4}+\frac{3(a-b)^2}{(a+b)ab}=3(a-b)^2.(\frac{1}{(a+b)ab}-\frac{a+b}{4})=3(a-b)^2.\frac{4-(a+b)^2.ab}{4ab(a+b)}$

Mặt khác: Vì $a \leq b \leq c$ $=> c\geq 1 <=> a+b \leq 2 => f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c) \geq f(a,b,c)$

Khi đó: $f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c)=\frac{1}{4}(a+b)^3+c^3-\frac{12}{a+b}-\frac{3}{c}=\frac{1}{4}(3-c)^3+c^3-\frac{12}{3-c}-\frac{3}{c}$

Đến đây xét đạo hàm và lập bảng biến thiên là xong 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh