Chủ đề này có 4 trả lời

[lethanhson2703]

1. Cho $x,y$ thỏa mãn: $x>y$ và $xy<0$. TÍnh gtnn của biểu thức: $P=(x-y)^2+(x-y+\frac{1}{x}-\frac{1}{y})$

2. TÌm GTNN của biểu thức: $M=(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$

trong đó $a,b,c>0$ và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$

3. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $abc=2$. CMR: $a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$

4. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=6abc$. CMR: $\frac{bc}{a^3(2b+c)}+\frac{ac}{b^3(a+2c)}+\frac{ab}{c^3(2a+b)}\geq2$

5. Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=3$. TÌm GTNN của biểu thức: $\sum \frac{a}{b^2+1}$

[hoctrocuaZel]

Câu 5/

$A=\sum (a-\frac{ab^2}{b^2+1})\geq \sum (a-\frac{ab^2}{2b})=\sum (a-\frac{ab}{2})=3-\frac{\sum ab}{2}\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

[Viet Hoang 99]

1. Cho $x,y$ thỏa mãn: $x>y$ và $xy<0$. TÍnh gtnn của biểu thức: $P=(x-y)^2+(x-y+\frac{1}{x}-\frac{1}{y})$

2. TÌm GTNN của biểu thức: $M=(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$

trong đó $a,b,c>0$ và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$

3. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $abc=2$. CMR: $a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$

4. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=6abc$. CMR: $\frac{bc}{a^3(2b+c)}+\frac{ac}{b^3(a+2c)}+\frac{ab}{c^3(2a+b)}\geq2$

5. Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=3$. TÌm GTNN của biểu thức: $\sum \frac{a}{b^2+1}$

1) Đặt $y=-z$ ...

4) Đặt $ab=x;bc=y;ca=z$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{x}=6$

Khi đó

$\sum \frac{bc}{a^3(2b+c)}=\sum \frac{z^2}{xy(2x+y)}\ge \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3xyz(xy+yz+zx)}\ge \frac{(xy+yz+zx)^2}{3xyz(xy+yz+zx)}=\frac{1}{3}.\sum \frac{1}{x}=2$

[Viet Hoang 99]

1. Cho $x,y$ thỏa mãn: $x>y$ và $xy<0$. TÍnh gtnn của biểu thức: $P=(x-y)^2+(x-y+\frac{1}{x}-\frac{1}{y})$

2. TÌm GTNN của biểu thức: $M=(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$

trong đó $a,b,c>0$ và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$

3. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $abc=2$. CMR: $a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$

4. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=6abc$. CMR: $\frac{bc}{a^3(2b+c)}+\frac{ac}{b^3(a+2c)}+\frac{ab}{c^3(2a+b)}\geq2$

5. Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=3$. TÌm GTNN của biểu thức: $\sum \frac{a}{b^2+1}$

2)

Ta có:

$\prod \left ( 3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )=27+18\sum \frac{1}{a}+3\sum \left [ \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \right ]+\prod \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )$

3) 

Áp dụng
$a\sqrt{b+c}\le \frac{1}{4}(a^2(b+c)+4)$

[KietLW9]

 

3. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $abc=2$. CMR: $a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: $(\sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c} )^2\leqslant 2(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)=\prod_{cyc}^{cyc}a(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)\leqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3} \leqslant \frac{(a+b+c)^6}{3^4}$

$\Rightarrow \sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c}\leq \frac{(a+b+c)^3}{3^2}\leqslant a^3+b^3+c^3$ 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 29-04-2021 - 22:23