Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi Toán Chuyên PTNK 2021-2022


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

190536088_948020222682357_48795117855422


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 67 Bài viết

Hôm qua em mất điểm đề này rất là cay :( Nếu ở nhà làm được 7đ thì đi thi chỉ còn 3,75@@

Bài 3.

a) Ta có: $$x_n\ge \dfrac{1}{3} \left(x_1+x_2+\cdots +x_n\right) \Rightarrow x_n\ge \dfrac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{2}\ge \dfrac{(n-1)(x_1+x_2)}{4}$$

  • Nếu $x_1+x_2<0\Rightarrow x_1+x_2<0<\dfrac{1}{3}\le x_n.$ (đúng)
  • Nếu $x_1+x_2\ge 0\to x_n \ge \dfrac{(5-1)\left(x_1+x_2\right)}{4}=x_1+x_2.$

b) Nếu $x_n\ge \dfrac{1}{3} \to \dfrac{1}{3} \leq x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}=1-x_n\le \dfrac{2}{3}.$

Tức tồn tại $k=n-1.$

Nếu  $x<\dfrac{1}{3},$ gỉa sử $i$ là số nhỏ nhất sao cho $x_1+x_2+\cdots +x_i\ge \dfrac{1}{3}.$

Nếu $x_1+x_2+\cdots +x_i\ge \dfrac{2}{3}\Rightarrow x_1+x_2+\cdots +x_{i-1}>\dfrac{2}{3}-x_i>\dfrac{1}{3}.$

Vậy tồn tại chỉ $i-1<i$ sao cho $x_1+x_2+\cdots +x_{i-1}>\dfrac{1}{3},$ mâu thuẩn với giả sử.

Vậy $\dfrac{1}{3} \le x_1+x_2+\cdots +x_{i-1}\leq \dfrac{2}{3},$ có đpcm.



#3
tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 67 Bài viết

Hai ý đầu câu hình rất dễ nhưng do em phân thời gian không tốt với đang bị đau răng không tập trung được nên không làm kịp @@

E3oTFY7.png

a) Qua D kẻ đường thẳng // BC //EF, cắt AB, AC tại X, Y. Có:
$\dfrac{DY}{BC}=\dfrac{DF}{FB}=\dfrac{EX}{EB}=\dfrac{DX}{BC}$ suy ra D là trung điểm $XY.$
Vậy AD đi qua trung điểm I của EF. Các tứ giác $HNFH, DMEH$ nội tiếp nên: $\angle DHN=\angle DFN=\angle MAN; \angle MHD=\angle MED=\angle MAN$ từ đó: $\angle  MHN=2\angle MAN=\angle MIN$ suy ra tứ giác $IHNM$ nội tiếp.
b) Tứ giác $MPLF$ nội tiếp nên $BM\cdot BF=BP\cdot BL; BM\cdot BF=BE\cdot BA$ do tức giác AEMF nội tiếp. Suy ra $BP\cdot BL=BE\cdot BA$ do đó tứ giác $AEPL$ nội tiếp.
Tương tự thì AFQK nội tiếp.
 $$\dfrac{BP\cdot BL}{CQ\cdot CK}=\dfrac{BE\cdot BA}{CF\cdot CA}=\dfrac{BA^2}{CA^2}$$
 

 



#4
tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 67 Bài viết

Bài 4.

a) Theo đề bài ta có $$(2n+1)^3+1\equiv 0 (\text{mod}\, 2^{2021})$$

Hay là $$(2n+1)^3 \equiv -1 (mod 2^{2021}) \Rightarrow 2n+1 \equiv -1 (mod 2^{2021})$$

Đặt $2n+1=2^{2021}\cdot k -1 \, (k\in \mathbb{N}^{*}) \Rightarrow n = 2^{2020}k-1.$

b) Theo đề bài thì $2n+2\vdots p;4n^2+2n+1\vdots p.$ Từ $2n+2\vdots p \Rightarrow 4n^2+4n\vdots p\Rightarrow 4n^2+4n-\left(4n^2+2n+1\right)=(2n+2)-3\vdots p.$

Suy ra $p | 3,$ mà p nguyên tố nên $p=3.$ Vậy $2n+2\vdots 3, 2n+2\vdots 2,$ vậy $2n+2 \vdots 6$ (vì (3,2)=1)

Đặt $2n+2=6k (k\in \mathbb{N}^*)$ thì $n=3k-1.$

Công việc còn lại chắc là dễ..

Update. Câu 4a mình làm sai.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 28-05-2021 - 05:34


#5
Hunghcd

Hunghcd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Bài 4.

a) Theo đề bài ta có $$(2n+1)^3+1\equiv 0 (\text{mod}\, 2^{2021})$$

Hay là $$(2n+1)^3 \equiv -1 (mod 2^{2021}) \Rightarrow 2n+1 \equiv -1 (mod 2^{2021})$$

Đặt $2n+1=2^{2021}\cdot k -1 \, (k\in \mathbb{N}^{*}) \Rightarrow n = 2^{2020}k-1.$

b) Theo đề bài thì $2n+2\vdots p;4n^2+2n+1\vdots p.$ Từ $2n+2\vdots p \Rightarrow 4n^2+4n\vdots p\Rightarrow 4n^2+4n-\left(4n^2+2n+1\right)=(2n+2)-3\vdots p.$

Suy ra $p | 3,$ mà p nguyên tố nên $p=3.$ Vậy $2n+2\vdots 3, 2n+2\vdots 2,$ vậy $2n+2 \vdots 6$ (vì (3,2)=1)

Đặt $2n+2=6k (k\in \mathbb{N}^*)$ thì $n=3k-1.$

Công việc còn lại chắc là dễ..

Mình làm phần còn lại nãy h ko đc nè. (thử thay n=5 thì 2n+2/3=4 tm ???)



#6
tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 67 Bài viết

Mình làm phần còn lại nãy h ko đc nè. (thử thay n=5 thì 2n+2/3=4 tm ???)

Đề bài trên do trung tâm đánh lại thiếu. Đề bài gốc hôm qua mình thi là "Chứng minh với $n,p$ vừa tìm được, các số nguyên ở trên không đồng thời là số chính phương."

Update. Toàn bộ đề bài trên là:

"Tìm số tự nhiên n và số nguyên tố p sao cho $\dfrac{2n+2}{p},\dfrac{4n^2+2n+1}{p}$ đều là số nguyên. Chứng minh với $n,p$ vừa tìm được, các số nguyên ở trên không đồng thời là số chính phương."

Hôm qua thi đề này sai cay cú nên em nhớ rõ lắm hehe :v 

Bạn Hunghcd nói mình mới để ý, $n\ge 5$ mới đúng, không hiểu sao bên đó đánh lại đề lỗi thế.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 27-05-2021 - 11:19


#7
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

:) Không hiểu sao bên đó chỉnh lại đề nữa.

Đề đúng:

Cho số nguyên tố $p$ và số tự nhiên $n$ thoả $a=\frac{2n+2}{p}$ và $b=\frac{4n^2+2n+1}{p}$ là các số nguyên. 

CMR $a,b$ không thể cùng là số chính phương.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#8
Hunghcd

Hunghcd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

câu 3 là n$\geq 5$ .  @@

a, Nếu $x_{n}\geq \frac{1}{3}\rightarrow x_{1}+...+x_{n-1}\leq \frac{2}{3} \rightarrow \frac{2}{3}\geq 2(x_{1}+x_{2})\rightarrow x_{n}\geq \frac{1}{3}\geq x_{1}+x_{2}$

(do $n\geq 5\rightarrow n-1\geq 4$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hunghcd: 27-05-2021 - 11:29


#9
CloudSup

CloudSup

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết

Câu 5:

a) Giả sử ngược lại nếu có 1 chữ cái ở trong 6 tập hợp thì ta xét 1 tập nào đó bất kì thì số phần tử của tập đó với 6 tập mà chứa chung 1 phần tử của đề bài thì theo giả thiết thì 6 phần tử đó phải phân biệt

Suy ra 1 tập nào đó chứa ít nhất 6 phần tử.

Note: Mình thấy phần a này khá hiển nhiên, chắc nhiều bạn làm được.Còn phần b nếu ai đã biết đếm 2 cách chắc cx không khó lắm



#10
tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 67 Bài viết

Bản đề gốc:

186503386_4401617553205785_6729698341582






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh