Đề thi Toán Chuyên PTNK 2021-2022
#1
Đã gửi 27-05-2021 - 07:56
- DaiphongLT, mEgoStoOpid và Hunghcd thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#2
Đã gửi 27-05-2021 - 09:25
Hôm qua em mất điểm đề này rất là cay Nếu ở nhà làm được 7đ thì đi thi chỉ còn 3,75@@
Bài 3.
a) Ta có: $$x_n\ge \dfrac{1}{3} \left(x_1+x_2+\cdots +x_n\right) \Rightarrow x_n\ge \dfrac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{2}\ge \dfrac{(n-1)(x_1+x_2)}{4}$$
- Nếu $x_1+x_2<0\Rightarrow x_1+x_2<0<\dfrac{1}{3}\le x_n.$ (đúng)
- Nếu $x_1+x_2\ge 0\to x_n \ge \dfrac{(5-1)\left(x_1+x_2\right)}{4}=x_1+x_2.$
b) Nếu $x_n\ge \dfrac{1}{3} \to \dfrac{1}{3} \leq x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}=1-x_n\le \dfrac{2}{3}.$
Tức tồn tại $k=n-1.$
Nếu $x<\dfrac{1}{3},$ gỉa sử $i$ là số nhỏ nhất sao cho $x_1+x_2+\cdots +x_i\ge \dfrac{1}{3}.$
Nếu $x_1+x_2+\cdots +x_i\ge \dfrac{2}{3}\Rightarrow x_1+x_2+\cdots +x_{i-1}>\dfrac{2}{3}-x_i>\dfrac{1}{3}.$
Vậy tồn tại chỉ $i-1<i$ sao cho $x_1+x_2+\cdots +x_{i-1}>\dfrac{1}{3},$ mâu thuẩn với giả sử.
Vậy $\dfrac{1}{3} \le x_1+x_2+\cdots +x_{i-1}\leq \dfrac{2}{3},$ có đpcm.
- Hoang72, NguyenMinhTri, mEgoStoOpid và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 27-05-2021 - 09:31
Hai ý đầu câu hình rất dễ nhưng do em phân thời gian không tốt với đang bị đau răng không tập trung được nên không làm kịp @@
- mEgoStoOpid yêu thích
#4
Đã gửi 27-05-2021 - 09:45
Bài 4.
a) Theo đề bài ta có $$(2n+1)^3+1\equiv 0 (\text{mod}\, 2^{2021})$$
Hay là $$(2n+1)^3 \equiv -1 (mod 2^{2021}) \Rightarrow 2n+1 \equiv -1 (mod 2^{2021})$$
Đặt $2n+1=2^{2021}\cdot k -1 \, (k\in \mathbb{N}^{*}) \Rightarrow n = 2^{2020}k-1.$
b) Theo đề bài thì $2n+2\vdots p;4n^2+2n+1\vdots p.$ Từ $2n+2\vdots p \Rightarrow 4n^2+4n\vdots p\Rightarrow 4n^2+4n-\left(4n^2+2n+1\right)=(2n+2)-3\vdots p.$
Suy ra $p | 3,$ mà p nguyên tố nên $p=3.$ Vậy $2n+2\vdots 3, 2n+2\vdots 2,$ vậy $2n+2 \vdots 6$ (vì (3,2)=1)
Đặt $2n+2=6k (k\in \mathbb{N}^*)$ thì $n=3k-1.$
Công việc còn lại chắc là dễ..
Update. Câu 4a mình làm sai.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 28-05-2021 - 05:34
- mEgoStoOpid yêu thích
#5
Đã gửi 27-05-2021 - 09:55
Bài 4.
a) Theo đề bài ta có $$(2n+1)^3+1\equiv 0 (\text{mod}\, 2^{2021})$$
Hay là $$(2n+1)^3 \equiv -1 (mod 2^{2021}) \Rightarrow 2n+1 \equiv -1 (mod 2^{2021})$$
Đặt $2n+1=2^{2021}\cdot k -1 \, (k\in \mathbb{N}^{*}) \Rightarrow n = 2^{2020}k-1.$
b) Theo đề bài thì $2n+2\vdots p;4n^2+2n+1\vdots p.$ Từ $2n+2\vdots p \Rightarrow 4n^2+4n\vdots p\Rightarrow 4n^2+4n-\left(4n^2+2n+1\right)=(2n+2)-3\vdots p.$
Suy ra $p | 3,$ mà p nguyên tố nên $p=3.$ Vậy $2n+2\vdots 3, 2n+2\vdots 2,$ vậy $2n+2 \vdots 6$ (vì (3,2)=1)
Đặt $2n+2=6k (k\in \mathbb{N}^*)$ thì $n=3k-1.$
Công việc còn lại chắc là dễ..
Mình làm phần còn lại nãy h ko đc nè. (thử thay n=5 thì 2n+2/3=4 tm ???)
- toanhoc2017 và chuyenamsbest thích
#6
Đã gửi 27-05-2021 - 10:26
Mình làm phần còn lại nãy h ko đc nè. (thử thay n=5 thì 2n+2/3=4 tm ???)
Đề bài trên do trung tâm đánh lại thiếu. Đề bài gốc hôm qua mình thi là "Chứng minh với $n,p$ vừa tìm được, các số nguyên ở trên không đồng thời là số chính phương."
Update. Toàn bộ đề bài trên là:
"Tìm số tự nhiên n và số nguyên tố p sao cho $\dfrac{2n+2}{p},\dfrac{4n^2+2n+1}{p}$ đều là số nguyên. Chứng minh với $n,p$ vừa tìm được, các số nguyên ở trên không đồng thời là số chính phương."
Hôm qua thi đề này sai cay cú nên em nhớ rõ lắm hehe :v
Bạn Hunghcd nói mình mới để ý, $n\ge 5$ mới đúng, không hiểu sao bên đó đánh lại đề lỗi thế.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 27-05-2021 - 11:19
#7
Đã gửi 27-05-2021 - 11:04
Không hiểu sao bên đó chỉnh lại đề nữa.
Đề đúng:
Cho số nguyên tố $p$ và số tự nhiên $n$ thoả $a=\frac{2n+2}{p}$ và $b=\frac{4n^2+2n+1}{p}$ là các số nguyên.
CMR $a,b$ không thể cùng là số chính phương.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#8
Đã gửi 27-05-2021 - 11:14
câu 3 là n$\geq 5$ . @@
a, Nếu $x_{n}\geq \frac{1}{3}\rightarrow x_{1}+...+x_{n-1}\leq \frac{2}{3} \rightarrow \frac{2}{3}\geq 2(x_{1}+x_{2})\rightarrow x_{n}\geq \frac{1}{3}\geq x_{1}+x_{2}$
(do $n\geq 5\rightarrow n-1\geq 4$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hunghcd: 27-05-2021 - 11:29
- chuyenamsbest yêu thích
#9
Đã gửi 27-05-2021 - 21:26
Câu 5:
a) Giả sử ngược lại nếu có 1 chữ cái ở trong 6 tập hợp thì ta xét 1 tập nào đó bất kì thì số phần tử của tập đó với 6 tập mà chứa chung 1 phần tử của đề bài thì theo giả thiết thì 6 phần tử đó phải phân biệt
Suy ra 1 tập nào đó chứa ít nhất 6 phần tử.
Note: Mình thấy phần a này khá hiển nhiên, chắc nhiều bạn làm được.Còn phần b nếu ai đã biết đếm 2 cách chắc cx không khó lắm
#10
Đã gửi 28-05-2021 - 06:06
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh