Đến nội dung

Hình ảnh

$a,b,c\in\mathbb{N}$ thoả: $2^a+8b^2-3^c=283.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết
Tìm các bộ số tự nhiên $(a,b,c)$ thoả mãn:
    \[2^a+8b^2-3^c=283.\]
 

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
Velomi

Velomi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Xét $a\geq 3$ thì $283+3^{c}\vdots 8$$\Rightarrow 3^c\equiv 5(mod 8)$ ( vô nghiệm )

Xét a=0 thì vế trái chẵn, vế phải lẻ ( vô nghiệm )

Xét a=1 thì $8b^2-3^c=281$$\Rightarrow 3^c\equiv 7(mod 8)$ ( vô nghiệm )

Từ đó a=2. GT trở thành: $8b^2-3^c=279$. Dễ thấy bắt buộc b=3p, c=2k, ta có: $8p^2-9^{k-1}=31$$\Leftrightarrow 9p^2-9^{k-1}=p^2+31$

Do đó $p^2\equiv 5(mod 9)$ ( vô nghiệm ) hoặc k=1. Suy ra c=2, b=6.

 

 






3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh