Cho số tự nhiên $b$ thoả mãn:
$b^3\equiv 111\pmod{125}$ suy ra $b\equiv ?\pmod{125}$.
#2
Đã gửi 30-05-2021 - 11:39
Cho số tự nhiên $b$ thoả mãn:
$$b^3\equiv 111\pmod{125}.$$Khi đó: $b\equiv ?\pmod{125}$.
$b^3\equiv 111\pmod{125}\Rightarrow \left[\begin{array}{l}b^3\equiv 11\pmod{100}\\b^3\equiv 61\pmod{100}\\b^3\equiv 36\pmod{100}\\b^3\equiv 86\pmod{100} \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}b\equiv 1\pmod{10}\\b\equiv 6\pmod{10} \end{array}\right.$
Ta chỉ cần xét trong phạm vi $b\in\left [ 0;124 \right ]$. Xét 2 trường hợp :
+ $b=10k+1$ : Khi đó $b^3=(10k+1)^3=1000k^3+300k^2+30k+1\Rightarrow b^3\equiv 30k+1\pmod{100}$
$\left[\begin{array}{l}b^3\equiv 11\pmod{100}\\b^3\equiv 61\pmod{100} \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}k=2\\k=12\\k=7 \end{array}\right.$
Thử lại $21^3=9261\not\equiv 111\pmod{125}$ (loại) ; $121^3=1771561\not\equiv 111\pmod{125}$ (loại) ; $71^3=357911\not\equiv 111\pmod{125}$ (loại)
+ $b=10k+6$ : Khi đó $b^3=(10k+6)^3=1000k^3+1800k^2+1080k+216\Rightarrow b^3\equiv 80k+16\pmod{100}$
$\left[\begin{array}{l}b^3\equiv 36\pmod{100}\\b^3\equiv 86\pmod{100} \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}k=4\\k=9 \end{array}\right.$
Thử lại $46^3=97336\not\equiv 111\pmod{125}$ (loại) ; $96^3=884736\equiv 111\pmod{125}$ (thỏa mãn)
Vậy $b\equiv 96\pmod{125}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 30-05-2021 - 15:28
- tritanngo99, Baoriven, ChiMiwhh và 2 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 30-05-2021 - 13:18
Bác giải kinh thật! Không biết nên xưng hô với bác sao nữa
Ta có: $b^3\equiv 111\pmod{125}\Rightarrow b^3=125c+111\Rightarrow b^3\equiv 1\pmod{5}\Rightarrow b\equiv 1\pmod{5}$.
Một cách tương tự, ta có $b^3\equiv 11\pmod{125}$ và $b\equiv 1\pmod{5}$ nên ta kiểm tra $b\equiv 1;6;11;16;21\pmod{25}$.
Suy ra $b\equiv 21\pmod{25}$.
Từ đây, ta chỉ cần xét thêm $b\equiv 21;46;71;96;121 \pmod{125}$.
Vậy $b\equiv 96\pmod{125}$.
- DaiphongLT và Lemonjuice thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh