Chủ đề này có 2 trả lời

[Baoriven]

Cho số tự nhiên $b$ thoả mãn:

$$b^3\equiv 111\pmod{125}.$$

Khi đó: $b\equiv ?\pmod{125}$.

[chanhquocnghiem]

 

Cho số tự nhiên $b$ thoả mãn:

$$b^3\equiv 111\pmod{125}.$$

Khi đó: $b\equiv ?\pmod{125}$.

$b^3\equiv 111\pmod{125}\Rightarrow \left[\begin{array}{l}b^3\equiv 11\pmod{100}\\b^3\equiv 61\pmod{100}\\b^3\equiv 36\pmod{100}\\b^3\equiv 86\pmod{100} \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}b\equiv 1\pmod{10}\\b\equiv 6\pmod{10} \end{array}\right.$

Ta chỉ cần xét trong phạm vi $b\in\left [ 0;124 \right ]$. Xét 2 trường hợp :

+ $b=10k+1$ : Khi đó $b^3=(10k+1)^3=1000k^3+300k^2+30k+1\Rightarrow b^3\equiv 30k+1\pmod{100}$

   $\left[\begin{array}{l}b^3\equiv 11\pmod{100}\\b^3\equiv 61\pmod{100} \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}k=2\\k=12\\k=7 \end{array}\right.$

   Thử lại $21^3=9261\not\equiv 111\pmod{125}$ (loại) ; $121^3=1771561\not\equiv 111\pmod{125}$ (loại) ; $71^3=357911\not\equiv 111\pmod{125}$ (loại)

 

+ $b=10k+6$ : Khi đó $b^3=(10k+6)^3=1000k^3+1800k^2+1080k+216\Rightarrow b^3\equiv 80k+16\pmod{100}$

   $\left[\begin{array}{l}b^3\equiv 36\pmod{100}\\b^3\equiv 86\pmod{100} \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}k=4\\k=9 \end{array}\right.$

   Thử lại $46^3=97336\not\equiv 111\pmod{125}$ (loại) ; $96^3=884736\equiv 111\pmod{125}$ (thỏa mãn)

 

Vậy $b\equiv 96\pmod{125}$.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 30-05-2021 - 15:28

[Baoriven]

Bác giải kinh thật! Không biết nên xưng hô với bác sao nữa

 

Ta có: $b^3\equiv 111\pmod{125}\Rightarrow b^3=125c+111\Rightarrow b^3\equiv 1\pmod{5}\Rightarrow b\equiv 1\pmod{5}$.

Một cách tương tự, ta có $b^3\equiv 11\pmod{125}$ và $b\equiv 1\pmod{5}$ nên ta kiểm tra $b\equiv 1;6;11;16;21\pmod{25}$.

Suy ra $b\equiv 21\pmod{25}$.

Từ đây, ta chỉ cần xét thêm $b\equiv 21;46;71;96;121 \pmod{125}$.

Vậy $b\equiv 96\pmod{125}$.