Chào các cô chú anh chị bạn,... trong diễn đàn toán ạ. Trong thời học cấp ba thì khi gặp những vấn đề liên quan đến giới hạn của hàm số,dãy số, đạo hàm thì mình không thể hiểu nổi, và luôn cảm thấy bứt rứt khi mình không hiểu những vấn đề đó nhưng mình vẫn phải chấp nhận nó và cứ áp dụng công thức vào để làm bài tập. Hôm nay mình muốn nêu ra một số thắc mắc của mình:
1. Ta có một hàm số y=3x+2 với x thuộc R.
£. Khi x chạy từ 1 tới 4 thì
y sẽ chạy từ 5 tới 14 vậy thì với mỗi giá trị của y trong đoạn [5;14] thì ta sẽ tìm được một giá trị x duy nhất tương ứng trong đoạn [1;4]. Vậy thì sẽ có bao nhiêu giá trị y đây ạ, câu trả lời là vô số nhưng số giá trị mà y nhận được chắc chắn lớn hơn số giá trị mà x có thể nhận được trong đoạn [1;4] =>điều này vô lí vì mỗi giá trị y cho duy nhất một giá trị x.
£. Xét hàm số y=3x+2 với x thuộc R,Nếu biểu diễn hàm số y=3x+4 này trên hệ trục Oxy
Thì ta được một đường thẳng (d). Ta xét x thuộc [1,4] thì ta được đồ thị một đoạn thẳng, lần lượt lấy mỗi điểm trên đoạn thẳng và chiếu lến trục Ox thì ta sẽ được đoạn [1,4] suy ra số điểm trên đoạn thẳng sẽ bằng số điểm trên đoạn [1,4]; vậy chăng hai đoạn thẳng này sẽ bằng nhau?
mọi người đóng góp ý kiến giúp mình tháo gỡ cái vướng mắc này cái ạ
Vấn đề mà bạn quan tâm gọi là "vấn đề các tập hợp vô hạn" và đã được nhà toán học Đức Georg Cantor (1845-1918) nghiên cứu.
Cantor đưa ra khái niệm "bản số của tập hợp"
Bản số của một tập hợp hữu hạn chính là số phần tử của nó, còn bản số của tập hợp vô hạn gọi là "lực lượng" của nó, còn cụ thể là cái gì thì còn tùy trường hợp (sẽ nói rõ sau)
Nếu ta có thể thiết lập một song ánh giữa các phần tử của hai tập hợp vô hạn thì ta nói hai tập hợp vô hạn đó có cùng lực lượng (cùng bản số) và gọi chúng là hai tập hợp tương đương.
Bây giờ, hãy xét hai đoạn $[1;4]$ và $[5;14]$ mà bạn đưa ra làm ví dụ. Đó là hai tập hợp vô hạn nên ta không thể so sánh về số phần tử, mà chỉ có thể nói về "lực lượng" của chúng.
Rõ ràng là với hàm số $y=3x+2$, ta có thể thiết lập song ánh từ đoạn $[1;4]$ đến đoạn $[5;14]$. Vậy đây là hai tập hợp có cùng lực lượng (2 tập hợp tương đương)
Lưu ý rằng ta chỉ nói $[1;4]$ và $[5;15]$ là 2 tập hợp có cùng lực lượng hoặc là 2 tập hợp tương đương, chứ không nói chúng "có cùng số phần tử". Và khi nghiên cứu về vô hạn thì phải cẩn thận, đừng để những lối suy nghĩ hữu hạn theo cảm tính đánh lừa.
Thật ra, lý thuyết của Cantor tuy ngày nay đã được công nhận là đúng đắn nhưng nó rất dông dài, trừu tượng và khó hiểu (thậm chí ông còn bị các nhà toán học đương thời cho là điên rồ)
Ai cũng biết các tập số $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$, các đoạn thẳng, đường thẳng, mặt phẳng,... đều có "vô số" phần tử. Nhưng những cái "vô số" đó có tương đương với nhau (tức là có thể thiết lập song ánh với nhau không ?)
Theo lý thuyết của Cantor :
Những tập $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ có lực lượng "nhỏ" nhất. Ông ký hiệu lực lượng này là "alep không", viết bằng ký tự Hebrew (Do Thái)
Những tập $\mathbb{R},\mathbb{C}$, đoạn thẳng, đường thẳng, hình phẳng, mặt phẳng có lực lượng "lớn" hơn, ký hiệu là "alep một"
Những đường cong (không phẳng), những hình khối trong không gian có lực lượng "lớn" hơn nữa, ký hiệu là "alep hai"
Bạn có thể tìm đọc "Các câu chuyện Toán học" (tập 4) của Nguyễn Bá Đô hoặc tra Google : "Georg Cantor" để tìm hiểu thêm.
