Đến nội dung

Hình ảnh

Cho số 2021 là số tuyệt vời


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
CloudSup

CloudSup

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết

Bài này mình tìm được trên mạng cũng khá hay cho THCS:

Cho 2021 là 1 số tuyệt vời. Với mỗi số nguyên dương m thì các số trong tập ${m,2m+1,3m+1}$ cũng tuyệt vời. Hỏi số $2021^{2021}$ có phải là số tuyệt vời không?



#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4980 Bài viết

Bài này thú vị phết. Dưới đây mình trình bày sơ lược lời giải của bạn mình :D Chúng ta sẽ phủ định bằng phản chứng.

Giả sử $2021^{2021}$ là số tuyệt vời, nghĩa là tồn tại một dãy số $x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n (n \ge 1)$ sao cho $x_0 = 2021; x_n = 2021^{2021}$ và $x_{k+1} = 2x_k + 1$ hoặc $3x_k + 1$.

Xét $x_{n-1}$. Vì $2021 \equiv -1 (mod 3) \Rightarrow 2021^{2021} \equiv (-1)^{2021} \equiv -1 (mod 3)$ (2).

Nếu $x_n = 3x_{n-1} + 1 \Rightarrow 2021^{2021} \equiv 1 (mod 3)$: trái với (2), do đó $x_n = 2x_{n-1} + 1$.

Từ đó dễ thấy $x_{n-1} \equiv -1 (mod 3)$.

Tiếp tục lý luận như trên, ta có $x_k \equiv -1 (mod 3)$ và $x_{k} = 2x_{k - 1} + 1$.

Nói cách khác $x_n = 2^n x_0 + 2^n - 1 \Rightarrow 2^n = \frac{x_n + 1}{x_0 + 1} = \frac{2021^{2021} + 1}{2022} = \frac{2021^{2021} + 1}{2 \times 3 \times 337}$

Tới đây thì chỉ cần chứng minh là biểu thức này không thể xảy ra vì VP chứa một ước nguyên tố khác 2 :)


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh