Bài này mình tìm được trên mạng cũng khá hay cho THCS:
Cho 2021 là 1 số tuyệt vời. Với mỗi số nguyên dương m thì các số trong tập ${m,2m+1,3m+1}$ cũng tuyệt vời. Hỏi số $2021^{2021}$ có phải là số tuyệt vời không?
Bài này mình tìm được trên mạng cũng khá hay cho THCS:
Cho 2021 là 1 số tuyệt vời. Với mỗi số nguyên dương m thì các số trong tập ${m,2m+1,3m+1}$ cũng tuyệt vời. Hỏi số $2021^{2021}$ có phải là số tuyệt vời không?
Bài này thú vị phết. Dưới đây mình trình bày sơ lược lời giải của bạn mình Chúng ta sẽ phủ định bằng phản chứng.
Giả sử $2021^{2021}$ là số tuyệt vời, nghĩa là tồn tại một dãy số $x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n (n \ge 1)$ sao cho $x_0 = 2021; x_n = 2021^{2021}$ và $x_{k+1} = 2x_k + 1$ hoặc $3x_k + 1$.
Xét $x_{n-1}$. Vì $2021 \equiv -1 (mod 3) \Rightarrow 2021^{2021} \equiv (-1)^{2021} \equiv -1 (mod 3)$ (2).
Nếu $x_n = 3x_{n-1} + 1 \Rightarrow 2021^{2021} \equiv 1 (mod 3)$: trái với (2), do đó $x_n = 2x_{n-1} + 1$.
Từ đó dễ thấy $x_{n-1} \equiv -1 (mod 3)$.
Tiếp tục lý luận như trên, ta có $x_k \equiv -1 (mod 3)$ và $x_{k} = 2x_{k - 1} + 1$.
Nói cách khác $x_n = 2^n x_0 + 2^n - 1 \Rightarrow 2^n = \frac{x_n + 1}{x_0 + 1} = \frac{2021^{2021} + 1}{2022} = \frac{2021^{2021} + 1}{2 \times 3 \times 337}$
Tới đây thì chỉ cần chứng minh là biểu thức này không thể xảy ra vì VP chứa một ước nguyên tố khác 2
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh