Chủ đề này có 2 trả lời

[Mrwhite320064]

1) Cho dãy số  ( n = 1,2,….) xác định bởi : $u_{1}=\frac{2011}{2010}, u_{n+1}=u_{n}^{2}-2u_{n}+\frac{2n+4999}{n+2499}$  với mọi n = 2,3,… Chứng minh rằng dãy ($u_{n}$)  có giới hạn hữu hạn ,tìm giới hạn đó.

 

2) Cho dãy số  ( n = 1,2,….) xác định bởi : $u_{1}=24,u_{2}=60,u_{n+1}=u_{n}+\frac{u_{n-1}}{n(n+1)(n+2)}$ với mọi n = 2,3,… Chứng minh rằng dãy ($u_{n}$) có giới hạn hữu hạn ,tìm giới hạn đó.

 

3)Cho dãy số  ( n = 1,2,….) xác định bởi : $u_{1}=2019,u_{n+1}(4-3u_{n})=1$ với mọi n = 1,2,… Chứng minh rằng dãy ($u_{n}$) có giới hạn hữu hạn ,tìm giới hạn đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrwhite320064: 30-05-2021 - 20:42

[KemQue]

Bài 1:

Bổ đề: Cho hai dãy số $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ không âm và số thực $q\in (-1;1)$ thỏa mãn: ${{a}_{n+1}}\le q{{a}_{n}}+{{b}_{n}}$. Khi đó nếu $\lim {{b}_{n}}=0$ thì $\lim {{a}_{n}}=0$.

Quay lại bài toán:

Ta có: \[{{u}_{n+1}}=1+{{\left( {{u}_{n}}-1 \right)}^{2}}+\frac{1}{n+2499}>1\,\,\,,n\ge 1\].

Ta chứng minh bằng quy nạp ${{u}_{n}}<\frac{3}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$.

Thật vậy, $1<{{u}_{1}}<\frac{3}{2}$.

Ta giả sử $1<{{u}_{k}}<\frac{3}{2}$ với $k\ge 1$, ta có: \[{{u}_{k+1}}=1+{{\left( {{u}_{k}}-1 \right)}^{2}}+\frac{1}{k+2499}<\frac{5}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}\]

Vậy, $1<{{u}_{n}}<\frac{3}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$. Do đó: $0<{{u}_{n}}-1<\frac{1}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$

Mặt khác: \[{{u}_{n+1}}-1=\left( {{u}_{n}}-1 \right).\left( {{u}_{n}}-1 \right)+\frac{1}{n+2499}\le \frac{1}{2}\left( {{u}_{n}}-1 \right)+\frac{1}{n+2499}\].

Áp dụng bổ đề trên ta suy ra: $\lim {{u}_{n}}=1$.

 

[KemQue]

Bài 3:

Ta có:

${{u}_{1}}=2019$

${{u}_{2}}=\frac{1}{4-3{{u}_{1}}}=\frac{1}{4-3.2019}$

${{u}_{3}}=\frac{1}{4-3{{u}_{2}}}=\frac{1}{4+\frac{3}{3.2019-4}}\Rightarrow 0<{{u}_{3}}<\frac{1}{3}$

Từ đây dùng quy nạp ta chứng minh được: $0<{{u}_{n}}<\frac{1}{3}\,\,\,,\forall n\ge 3$.

Do đó: ${{u}_{n+1}}=\frac{1}{4-3{{u}_{n}}}\,\,\,,n\ge 1$.

Ta có:  ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{1}{4-3{{u}_{n}}}-{{u}_{n}}=\frac{\left( 3{{u}_{n}}-1 \right)\left( {{u}_{n}}-1 \right)}{4-3{{u}_{n}}}>0$ (vì $0<{{u}_{n}}<\frac{1}{3}\,\,\,,\forall n\ge 3$)

Suy ra: dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ tăng bắt đầu từ số hạng thứ 3 trở về sau.

Vậy, dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ hội tụ. Giả sử $\lim {{u}_{n}}=a$.

Khi đó: \[a\left( 4-3a \right)=1\Leftrightarrow a=1 \text{ hoặc } a=\frac{1}{3} \Rightarrow a=\frac{1}{3}\].

Vậy, $\lim {{u}_{n}}=\frac{1}{3}$