Chứng minh rằng trong mọi đa giác đều 2n đỉnh, tồn tại một đường chéo không đi song song với bất cứ cạnh nào của đa giác
Chứng minh rằng trong mọi đa giác đều 2n đỉnh, tồn tại một đường chéo không đi song song với bất cứ cạnh nào của đa giác
#1
Đã gửi 31-05-2021 - 19:36
#2
Đã gửi 31-05-2021 - 22:11
Chứng minh rằng trong mọi đa giác đều 2n đỉnh, tồn tại một đường chéo không đi song song với bất cứ cạnh nào của đa giác
Xét đa giác đều $2n$ đỉnh $A_1A_2...A_{2n}$ nội tiếp trong đường tròn.
Chú ý rằng các cạnh đa giác bằng nhau nên các cung tương ứng cũng có cùng số đo. Từ đó suy ra :
$A_2A_{2n}//A_3A_{2n-1}//A_4A_{2n-2}//...//A_pA_{2n-p+2}//...//A_nA_{n+2}$ ($2\leqslant p\leqslant 2n$ và $p\neq n+1$)
Giả sử rằng có cạnh $A_pA_q$ của đa giác ($p+q$ là số lẻ) song song với đường chéo $A_2A_{2n}$.
Dĩ nhiên $p$ phải khác $1$ (vì $A_1A_2$ và $A_1A_{2n}$ không thể song song với $A_2A_{2n}$)
Và $p$ cũng khác $n+1$ (vì $A_nA_{n+2}//A_2A_{2n}$ nên $A_{n+1}A_{n+2}$ và $A_{n+1}A_n$ không thể song song với $A_2A_{2n}$)
Như trên đã nói, ta có $A_2A_{2n}//A_pA_{2n-p+2}$ (hai đoạn này đều là đường chéo nên $2n-p+2\neq q$)
Suy ra $3$ đỉnh $A_p,A_q$ và $A_{2n-p+2}$ thẳng hàng (vô lý)
Vậy không có cạnh nào của đa giác song song với đường chéo $A_2A_{2n}$ (nói chung là các đường chéo dạng $A_pA_{2n-p+2}$ với $2\leqslant p\leqslant 2n$ và $p\neq n+1$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 01-06-2021 - 08:20
- perfectstrong, CloudSup và darkangle249 thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh