Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sum \frac{1}{a(b^2+bc+c^2)}+(\frac{abc}{ab+bc+ca})\geq \frac{4}{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Master Of Inequality

Master Of Inequality

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=3$

Chứng minh

$P=\frac{1}{a(b^2+bc+c^2)}+\frac{1}{b(c^2+ca+a^2)}+\frac{1}{c(a^2+ab+b^2)} + \frac{abc}{ab+bc+ca}\geq \frac{4}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Master Of Inequality: 01-05-2021 - 23:32


#2
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$

Chứng minh

$P=\frac{1}{a(b^2+bc+c^2)}+\frac{1}{b(c^2+ca+a^2)}+\frac{1}{c(a^2+ab+b^2)} + \frac{abc}{ab+bc+ca}\geq \frac{4}{3}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$$P\geq \frac{9}{(a+b+c)(bc+ca+ab)}+\frac{abc}{bc+ca+ab}=\frac{3+abc}{bc+ca+ab}\geq \frac{4}{3}.$$

BĐT cuối đúng theo BĐT Schur.

Đẳng thức xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$. $\square$



#3
Master Of Inequality

Master Of Inequality

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$$P\geq \frac{9}{(a+b+c)(bc+ca+ab)}+\frac{abc}{bc+ca+ab}=\frac{3+abc}{bc+ca+ab}\geq \frac{4}{3}.$$

Đẳng thức xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$. $\square$

@BĐT cuối đúng theo BĐT Schur.

Anh làm chi tiết giúp em được không ạ



#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

@BĐT cuối đúng theo BĐT Schur.

Anh làm chi tiết giúp em được không ạ

Bất đẳng thức cuối tương đương: $9+3abc\geqslant 4(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^2+3abc\geqslant 4(ab+bc+ca)\Leftrightarrow (a+b+c)^3+3abc(a+b+c)\geqslant 4(ab+bc+ca)(a+b+c)$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3+9abc\geqslant 4(ab+bc+ca)(a+b+c)$

Đây là bất đẳng thức Schur bậc 3! :icon6:


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh