Cho a,b,c không âm và a+b+c=2021. Tìm Min của
P=$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$
Cho a,b,c không âm và a+b+c=2021. Tìm Min của
P=$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$
Tổng quát: $a+b+c=k$ ($k>0$)
$P^{2}=2k+2(\sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(b+c)(c+a)}+\sqrt{(c+a)(a+b)})=2(k+\sqrt{ka+bc}+\sqrt{kb+ca}+\sqrt{kc+ab})$
Đặt $Q=\sqrt{ka+bc}+\sqrt{kb+ca}+\sqrt{kc+ab} \Rightarrow Q^{2}=k(a+b+c)+... \geq k^{2} \Rightarrow Q \geq k \Rightarrow P^{2}=2(k+Q) \geq 4k \Rightarrow P \geq 2\sqrt{k}$
Dấu "$=$" xảy ra khi $2$ trong $3$ số $a,b,c$ bằng $0$, số còn lại bằng $k$
$P \leq \sqrt{3.2(a+b+c)}=\sqrt{6k}$
Dấu"$=$" xảy ra khi $a=b=c=\frac{k}{3}$
Cho a,b,c không âm và a+b+c=2021. Tìm Min của
P=$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$
$P^2=\sum (a+b)+2\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\geqslant 2\sum a +2\sum \sqrt{a^2}=4 \sum a=4.2021=8084.$
$\Rightarrow P \geqslant \sqrt{8084}$
Dấu $"="$ xảy ra khi $2$ số $=0$, $1$ số $=2021$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mapdjtbeoidethuong: 05-06-2021 - 19:44
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh